[논문 리뷰] Maximal Syntactic Complexity of Regular Languages Implies Maximal Quotient Complexities of Atoms

Janusz Brzozowski, Gareth Davies|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 15.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 심화 복잡도가 최대인 정규 언어(n^n)는 반드시 2^n개의 원자로 구성되며, 각 원자는 가능한 최대의 몫 복잡도에 도달함을 증명한다. 증명은 최소 DFA에서 상태 전이의 구조를 활용하며, 전체 심화 복잡도가 원자 자동화에서 최대의 도달 가능성과 연결성을 보장함으로써 모든 원자가 이론적 복잡도 한계에 도달함을 보여준다.

ABSTRACT

We relate two measures of complexity of regular languages. The first is syntactic complexity, that is, the cardinality of the syntactic semigroup of the language. That semigroup is isomorphic to the semigroup of transformations of states induced by non-empty words in the minimal deterministic finite automaton accepting the language. If the language has n left quotients (its minimal automaton has n states), then its syntactic complexity is at most n^n and this bound is tight. The second measure consists of the quotient (state) complexities of the atoms of the language, where atoms are non-empty intersections of complemented and uncomplemented quotients. A regular language has at most 2^n atoms and this bound is tight. The maximal quotient complexity of any atom with r complemented quotients is 2^n-1, if r=0 or r=n, and 1+\sum_{k=1}^{r} \sum_{h=k+1}^{k+n-r} \binom{h}{n} \binom{k}{h}, otherwise. We prove that if a language has maximal syntactic complexity, then it has 2^n atoms and each atom has maximal quotient complexity, but the converse is false.

연구 동기 및 목표

• 정규 언어의 원자에 대한 심화 복잡도와 몫 복잡도 간의 관계를 조사하는 것.
• 최대 심화 복잡도가 정규 언어의 원자에서 최대 복잡도를 암시하는지 여부를 규명하는 것.
• 역으로, 최대 원자 복잡도가 최대 심화 복잡도를 암시하는지 여부를 확인하는 것.
• 전체 심화 복잡도 조건 하에서 원자 자동화의 구조적 특성화를 제공하는 것.
• 원자 몫 복잡도가 이론적 상한에 도달하는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 최소 DFA에서 비어 있지 않은 단어에 의해 유도되는 전이 반군을 통해 정규 언어의 심화 반군을 분석하는 것.
• 최대 심화 복잡도(n^n)가 상태 집합 위에서 모든 순열과 단일 변환의 존재를 암시한다는 사실을 이용하는 것.
• 원자 자동화에서 같은 유형의 간격 간 강한 연결성과 도달 가능성 증명을 위해 자동화 이론 기법을 적용하는 것.
• δ_a = α ∘ δ_w 형태의 전이 분해를 활용하여 원자 상태 간 전이를 시뮬레이션하는 것, 여기서 α는 단일 변환이고 δ_w는 순열이다.
• 임의의 유형 (v,u)의 간격으로부터 유형 (v−1,u) 또는 (v,u+1)의 간격으로의 전이 가능성을 증명하여 최대 도달 가능성 확보하는 것.
• 이전 연구에서 알려진 원자 몫 복잡도의 상한을 활용하여, 전체 도달 가능성은 최대 복잡도에 도달함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심화 복잡도가 최대인 정규 언어는 반드시 2^n개의 원자를 가져야 하는가?
• RQ2 언어가 최대 심화 복잡도를 가진다면, 그 모든 원자는 가능한 최대 몫 복잡도에 도달하는가?
• RQ3 역으로 참인가? 즉, 모든 원자의 몫 복잡도가 최대일 때, 심화 복잡도도 최대인가?
• RQ4 원자 자동화의 어떤 구조적 성질이 최대 몫 복잡도를 보장하는가?
• RQ5 원자 자동화의 도달 가능성 및 연결성 성질은 원래 언어의 심화 복잡도와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 심화 복잡도가 n^n인 정규 언어는 정확히 2^n개의 원자를 가지며, 이는 이론적 상한에 도달한다.
• 이러한 언어의 각 원자는 가능한 최대 몫 복잡도에 도달한다: 전체 및 공집합 원자에 대해서는 2^n − 1이며, r개의 보완된 몫을 가진 원자에 대해서는 f(n,r)이다.
• 원자의 최대 몫 복잡도가 도달하는 것은 오직 최소 DFA가 강한 연결성을 가지며, 모든 도달 가능한 간격 유형을 지원할 때에만 성립한다.
• 증명은 전체 심화 복잡도가 원자 최소 DFA에서 동일한 유형의 간격들이 단어에 의해 유도되는 전이를 통해 상호로 도달 가능함을 보여준다.
• 임의의 유형 (v,u)의 간격으로부터 유형 (v−1,u) 및 (v,u+1)의 간격으로의 도달 가능성 확인은 도달 가능한 상태 수가 몫 복잡도의 알려진 상한과 일치함을 확인한다.
• 역은 성립하지 않는다: 어떤 언어가 모든 원자를 최대 몫 복잡도로 가지더라도 심화 복잡도가 최대일 필요는 없다. 이는 원자 복잡도가 심화 복잡도보다 엄격히 약한 측정법임을 보여준다.