[논문 리뷰] Maximizing Submodular Functions with the Diminishing Return Property over the Integer Lattice.

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 카디널리티, 폴리마트로이드, 캐리어 백 제약 조건 하에서 정수 격자 위에서 비음수 단조 증가 부분형 함수의 근사 알고리즘을 제시한다. 유클리드 공간으로의 연속적 확장을 활용하고 연속적 그린티 알고리즘을 적용하여, n, ϵ, r, w에 따라 변하는 질의 복잡도를 갖는 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성한다.

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative monotone submodular functions under a certain constraint has been intensively studied in the last decade. In this paper, we address the problem for functions defined over the integer lattice. Suppose that a non-negative monotone submodular function $f:\mathbb{Z}_+^n o \mathbb{R}_+$ is given via an evaluation oracle. Furthermore, we assume that $f$ satisfies the diminishing return property, which is not an immediate consequence of the submodularity when the domain is the integer lattice. Then, we show (i) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a cardinality constraint with $\widetilde{O}(\frac{n}{\epsilon}\log \frac{r}{\epsilon})$ queries, where $r$ is the maximum cardinality of feasible solutions, (ii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a polymatroid constraint with $\widetilde{O}(\frac{nr}{\epsilon^4}+n^6)$ queries, where $r$ is the rank of the polymatroid, and (iii) a $(1-1/e-\epsilon)$-approximation algorithm for a knapsack constraint with $\widetilde{O}(\frac{n^2}{\epsilon^{18}}\log \frac{1}{w})(\frac{1}{\epsilon})^{O(1/\epsilon^8)}$ queries, where $w$ is the minumum weight of elements. Our algorithms for polymatroid constraints and knapsack constraints first extend the domain of the objective function to the Euclidean space and then run the continuous greedy algorithm. We give two different kinds of continuous extensions, one is for knapsack constraints and the other is for polymatroid constraints, which might be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 다양한 제약 조건 하에서 정수 격자 위에서 비음수 단조 증가 부분형 함수를 최대화하는 문제를 다루는 것.
• 부분형성에 의해 유도되지 않는 감소 수익 성질이 정수 격자 설정에서 성립하지 않음을 입증하고, 이를 명시적인 조건으로 가정하는 것.
• 카디널리티, 폴리마트로이드, 캐리어 백 제약 조건에 대해 효율적인 근사 알고리즘을 설계하고 이의 이론적 보장을 제공하는 것.
• 각 제약 유형에 맞는 특화된 새로운 연속적 확장을 통해 함수 정의역을 유클리드 공간으로 확장하는 것.
• (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성하고, n, ϵ, r, w에 따라 효율적으로 증가하는 질의 복잡도를 갖는 것.

제안 방법

• 논문은 부분형 함수를 유클리드 공간으로 확장하는 두 가지 별개의 연속적 확장을 도입한다: 하나는 폴리마트로이드 제약 조건용이고, 다른 하나는 캐리어 백 제약 조건용이다.
• 확장된 연속 함수에 대해 연속적 그린티 알고리즘을 적용하여 분수 해를 도출한다.
• 알고리즘은 함수 값 평가 오ракูล을 사용하여 질의하고, 기울기 기반 업데이트를 통해 반복적으로 해를 개선한다.
• 카디널리티 제약 조건의 경우, O~(n/ϵ log(r/ϵ))의 질의 수로 근사값을 달성한다.
• 폴리마트로이드 제약 조건의 경우, O~(nr/ϵ⁴ + n⁶)의 질의 수를 사용하며, 감소 수익 성질을 유지하는 연속적 확장을 사용한다.
• 캐리어 백 제약 조건의 경우, 특화된 연속적 확장을 활용하고 O~(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)}의 질의 수를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카디널리티 제약 조건 하에서 정수 격자 위의 부분형 최적화에 대해 n과 ϵ에 대해 서브라인어 질의 복잡도로 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성할 수 있는가?
• RQ2 적절한 연속적 확장을 통해 연속적 그린티 접근법을 정수 격자 상의 폴리마트로이드 제약 조건에 확장할 수 있는가?
• RQ3 정수 격자 상의 캐리어 백 제약 조건 하에서 부분형 최적화에 대해 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성하는 데 필요한 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 캐리어 백 및 폴리마트로이드 설정에서 감소 수익 성질을 유지하는 정수 격자 상의 부분형 함수에 대해 연속적 확장을 정의할 수 있는가?
• RQ5 감소 수익 성질을 명시적으로 가정할 경우, 다양한 정수 격자 제약 조건 하에서 부분형 최적화의 이론적 질의 복잡도 상한은 무엇인가?

주요 결과

• 카디널리티 제약 조건 하에서 Õ(n/ϵ log(r/ϵ))의 질의 수를 사용해 (1−1/e−ϵ)-근사 알고리즘을 달성한다.
• 폴리마트로이드 제약 조건 하에서 Õ(nr/ϵ⁴ + n⁶)의 질의 수를 사용해 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성한다.
• 캐리어 백 제약 조건 하에서 Õ(n²/ϵ¹⁸ log(1/w))(1/ϵ)^{O(1/ϵ⁸)}의 질의 수를 사용해 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성한다.
• 논문은 두 가지 새로운 연속적 확장을 도입한다: 하나는 폴리마트로이드 제약 조건용이고, 다른 하나는 캐리어 백 제약 조건용이며, 각각 감소 수익 성질을 유지한다.
• 연속적 확장 덕분에 연속적 그린티 알고리즘이 정수 격자 설정에 적용 가능해지며, 이로 인해 이론적 보장을 확보할 수 있다.
• 결과는 감소 수익 성질이 정수 격자 설정에서 필수적이고 비자명한 가정임을 입증하며, 부분형성만으로는 이를 유도할 수 없다.