[논문 리뷰] Maximum scattered linear sets and MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino외 2명|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|2017. 01. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $rn$ 이 짝수일 때 $ \operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 내 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합의 랭크 경계 $rn/2$ 가 날카로운지 증명한다. 이는 이전에 열려 있던 $r$ 가 홀수이고 $n$ 이 짝수인 경우를 포함한다. Sheekey의 구성 방식을 일반화하여 이러한 선형 집합이 매개수 $(rn, n, q; n-1)$ 를 가진 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드를 유도함을 보이며, 유한체 위에서 이항함수를 통해 명시적인 구성 방법을 제공한다.

ABSTRACT

The rank of a scattered $\mathbb{F}_q$-linear set of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$, $rn$ even, is at most $rn/2$ as it was proved by Blokhuis and Lavrauw. Existence results and explicit constructions were given for infinitely many values of $r$, $n$, $q$ ($rn$ even) for scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank $rn/2$. In this paper we prove that the bound $rn/2$ is sharp also in the remaining open cases. Recently Sheekey proved that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^n)$ of maximum rank $n$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $2n$ and minimum distance $n-1$. We generalize this result and show that scattered $\mathbb{F}_q$-linear sets of $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$ of maximum rank $rn/2$ yield $\mathbb{F}_q$-linear MRD-codes with dimension $rn$ and minimum distance $n-1$.

연구 동기 및 목표

• 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합의 분류에서 $r$ 가 홀수이고 $n$ 이 짝수일 때 남아 있던 열린 사례를 완전히 해결하는 것.
• 랭크 $rn/2$ 의 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합과 매개수 $(rn, n, q; n-1)$ 를 가진 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드 사이의 일반적 대응 관계를 확립하는 것.
• 유한체 위의 이항함수를 사용하여 이러한 선형 집합과 그에 관련된 MRD-코드의 명시적 구성 방법을 제공하는 것.
• 이전에 해결되지 않은 사례, 특히 $r=3$, $n\geq6$ 짝수, $n\equiv0\pmod{3}$, $q\not\equiv1\pmod{3}$, $q>2$ 인 경우에도 랭크 경계 $rn/2$ 가 날카로운 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한체 $\mathbb{F}_{q^{3t}}$ 위에서 이항함수 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{2t+i}$ 를 사용하여 $\operatorname{PG}(2,q^{2t})$ 내 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합을 구성한다.
• 이항함수로 정의된 랭크 $3t$ 의 산산각이 아닌 선형 집합이 $\operatorname{PG}(1,q^{3t})$ 에 존재한다는 사실을 기초 단계로 활용한다.
• Sheekey의 대응 관계를 일반화하여, $\operatorname{PG}(1,q^n)$ 내 최대 산산각 선형 집합과 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드 사이의 관계를 확립한다. 이는 차원 $2n$ 과 최소 거리 $n-1$ 을 가진다.
• 서브스페이스 $U_f \subset V(r,q^n)$ 에 기반한 사상 $G \circ \tau_v$ 를 통해 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드를 정의한다. 여기서 $U_f = \{x\omega + f(x) \mid x \in \mathbb{F}_{q^{rt}}\}$ 로 정의된다.
• 선형성과 최대 랭크를 확보하기 위해 체 노름과 추적 조건을 활용한다.
• 다양한 경우, 예를 들어 $f(x) = ax^{q^i}$ 와 $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$ 에 대해, $\gcd(i,2t)$, $\gcd(i,rt)$, 노름 값 등의 조건을 만족하는 경우에 대해 명시적인 MRD-코드 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합의 랭크 경계 $rn/2$ 가 $r$ 가 홀수이고 $n$ 이 짝수일 때 $ \operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 내에서 날카로운가?
• RQ2 모든 짝수 $rn$ 에 대해 $ \operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 내 랭크 $rn/2$ 의 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 최대 산산각 선형 집합과 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드 사이의 대응 관계는 $r=2$ 경우를 초월하여 일반적인 $r$ 에까지 확장되는가?
• RQ4 $t \geq 2$ 인 경우 $ \operatorname{PG}(2,q^{2t})$ 내에서 최대 산산각 선형 집합을 유도하는 명시적 이항함수의 가족은 무엇인가?
• RQ5 기저 서브스페이스가 비동치일지라도 유도된 MRD-코드는 서로 동치가 아닐 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $rn$ 이 짝수일 때 $ \operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 내 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합의 랭크 경계 $rn/2$ 가 모든 경우에 날카로운지 증명한다. 이는 이전에 열려 있던 $r$ 가 홀수이고 $n$ 이 짝수인 경우를 포함한다.
• 특정 조건을 만족하는 경우, 즉 $n\geq6$ 짝수, $n\equiv0\pmod{3}$, $q\not\equiv1\pmod{3}$, $q>2$ 일 때, $\operatorname{PG}(2,q^n)$ 내 랭크 $3n/2$ 의 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합에 대한 명시적 구성 방법을 제시한다.
• 일반적인 구성 방법을 확립한다: $ \operatorname{PG}(r-1,q^n)$ 내 랭크 $rn/2$ 의 최대 산산각 ${\mathbb{F}}_q$-선형 집합은 매개수 $(rn, n, q; n-1)$ 를 가진 ${\mathbb{F}}_q$-선형 MRD-코드를 유도한다.
• $r=3$, $n=2t$, $f(x) = ax^{q^i} + bx^{q^{2t+i}}$ 인 경우, $a$, $b$, $\gcd(i,2t)$ 에 대한 특정 조건을 만족하는 경우, 차원 $6t$ 과 최소 거리 $2t-1$ 을 가진 명시적 MRD-코드를 구성한다.
• 논문은 서로 동치가 아닌 ${\mathbb{F}}_q$-서브스페이스 $U_f$ 와 $U_g$ 가 동일한 MRD-코드를 유도하는 사례를 제시하여, 코드 동치성과 서브스페이스 동치성이 일치하지 않음을 보여준다.
• 다양한 매개수 영역에서 유효한 $x$, $y$, $v_0$, $v_1$, $a$, $b$, $A_0$, $A_1$, $q$-거듭제곱 등을 포함하는 $F_v$ 의 MRD-코드 사상에 대한 명시적 공식을 유도한다.