[논문 리뷰] McKean-Vlasov equations on infinite-dimensional Hilbert spaces with irregular drift and additive fractional noise

Martin Bauer, Thilo Meyer‐Brandis|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비정규성 있는 비선형성과 덧셈형 원통형 분수 브라운 운동 노이즈를 갖는 무한차원 힐버트 공간에서 McKean-Vlasov 방정식의 약한 해와 강한 해의 존재성 및 유일성을 확립한다. 허스트 매개수 H ∈ (0,1)를 갖는 분수 노이즈 하에서, 측정 가능하고 유계인 드리프트에 대해 약한 해의 존재성을 증명하며, 드리프트와 노이즈 매개수에 추가적인 호일더 유형 연속성 및 정규성 조건이 만족될 경우 경로 유일성과 말리아빈 미분 가능성을 도출한다.

ABSTRACT

This paper establishes results on the existence and uniqueness of solutions to McKean-Vlasov equations, also called mean-field stochastic differential equations, in an infinite-dimensional Hilbert space setting with irregular drift. Here, McKean-Vlasov equations with additive noise are considered where the driving noise is cylindrical (fractional) Brownian motion. The existence and uniqueness of weak solutions are established for drift coefficients that are merely measurable, bounded, and continuous in the law variable. In particular, the drift coefficient is allowed to be singular in the spatial variable. Further, we discuss existence of a pathwisely unique strong solution as well as Malliavin differentiability.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 McKean-Vlasov 방정식을 덧셈형 원통형 분수 브라운 운동 노이즈를 갖는 무한차원 힐버트 공간으로 확장한다.
• 측정 가능하고 유계인 드리프트에 대해, 특히 법 변수에 대해 연속적인 드리프트에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 약한 해의 존재성 및 유일성을 확립한다.
• 약한 해가 경로 유일성 강한 해로 전환되고 말리아빈 미분 가능성이 되는 조건을 조사한다.
• 다양한 허스트 매개수 H ∈ (0,1)가 해의 성질에 미치는 영향을 분석하며, 특히 H < 1/2, H = 1/2, H > 1/2 영역 간의 차이를 구분한다.
• 해의 강한 해 존재성 및 유일성을 보장하는 충분조건을, 법 변수에 의존하는 랜덤 계수를 갖는 관련된 확률미분방정식으로의 환원을 통해 제시한다.

제안 방법

• 무한차원 McKean-Vlasov 방정식을 $ X_t = x + \int_0^t b(s,X_s,\mathbb{P}_{X_s})ds + \mathbb{B}_t $ 형태로 설정하며, 여기서 $ \mathbb{B}_t $ 는 독립적인 성분 $ B_t^{H_k} $ 를 갖는 원통형 분수 브라운 운동이다.
• 드리프트가 법 변수에 대해 유계이고 연속일 경우, 가우스 변환 정리(Girsanov’s theorem)와 샤펜의 고정점 정리(Schauder’s fixed point theorem)를 이용하여 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 특히 특이하거나 불연속적인 공간적 의존성을 갖는 비정규 드리프트를 다루기 위해 크릴로프의 방법 기반의 국소화 및 근사 기법을 적용한다.
• 해의 법에 의존하는 드리프트의 구조를 활용하여, McKean-Vlasov 방정식을 법에 의존하는 계수를 갖는 표준 SDE로 환원함으로써 경로 유일성을 확립한다.
• 분수 미적분학과 분수 브라운 운동의 국소 비결정성 추정을 활용하여 노이즈의 정규성 조건을 제어하고, 드리프트에 대한 적분 가능성 조건을 도출한다.
• 강한 해의 존재성과 함께 말리아빈 미분 가능성의 해를 도출하기 위해, 노이즈의 비특이성과 드리프트의 호일더 연속성을 활용한 말리아빈 미분학 프레임워크를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 힐버트 공간에서 비정규성 드리프트와 덧셈형 분수 노이즈를 갖는 McKean-Vlasov 방정식에 대해, 어떤 조건에서 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 이러한 무한차원, 분수 노이즈 설정 하에서 약한 해가 경로 유일성 강한 해가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 해의 말리아빈 미분 가능성을 보장하기 위해 드리프트 계수에 필요한 정규성 조건(공간, 시간, 법 변수에 대해)은 무엇인가?
• RQ4 다양한 허스트 매개수 $ H_k \in (0,1) $ 가 해의 존재성 및 유일성에 어떤 영향을 미치는가? 특히 하위브라운 운동 및 초브라운 운동 영역 간의 차이를 어떻게 구분하는가?
• RQ5 McKean-Vlasov 방정식의 해는 법 변수에 의존하는 랜덤 계수를 갖는 표준 SDE로의 환원을 통해 강한 해로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 측정 가능하고 유계이며, 칸토로비치-루빈슈타인 거리에 대해 법 변수에 대해 연속적인 드리프트 $ b $ 를 갖는 무한차원 McKean-Vlasov 방정식에 대해 약한 해가 존재한다.
• $ k \in I_+ $ (즉, $ H_k > 1/2 $) 인 경우, 드리프트 사영 $ b_k $ 는 시간, 공간, 법 변수에 대해 양수인 지수 $ \gamma_k, \alpha_k, \beta_k $ 를 갖는 호일더 유형 연속성 조건을 만족해야 한다.
• 관련된 랜덤 계수를 갖는 SDE가 유일한 강한 해를 갖는 조건 하에서, $ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ 이고 적절한 리프시츠 유형 조건(20)이 성립할 경우, 경로 유일성 및 강한 해 존재성이 확립된다.
• 드리프트와 노이즈에 추가적인 적분 가능성 및 정규성 조건이 만족될 경우, 특히 $ I_0 \cup I_+ = \emptyset $, $ \sum_{k \in I_-} H_k < 1/6 $, $ \sup_{k \in I_-} H_k < 1/12 $ 이며, 드리프트 및 노이즈 계수의 $ \ell^1 $-합산 가능성이 성립할 경우, 유일한 강한 해가 말리아빈 미분 가능성을 갖는다.
• 드리프트가 호일더 유형 조건을 만족하고 $ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ 이면, 법에 의한 해가 유일하다. 이는 관련 SDE가 유일한 강한 해를 갖는다는 것을 보장한다.
• 일차원 경우, $ H > 1/2 $ 이고 드리프트가 $ \gamma > H - 1/2 $, $ \alpha > 2H - 1 $, $ \beta > H - 1/2 $ 를 만족하는 호일더 조건을 갖는다면 강한 해가 존재한다. 또는 $ H \leq 1/2 $ 이고 드리프트가 균일한 의미에서 법 변수에 대해 연속일 경우에도 강한 해가 존재한다.