[논문 리뷰] Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups

Hiroki Sumi, Mariusz Urbański|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아름다운 열린 집합 조건을 만족하는 반타원형 유리 함수 반군에 대해, 카우프만, 패킹, 상자수세기 차원이 모두 동일하고 유한함을 증명하며, $ h $-차원 카우프만 측도와 패킹 측도 모두 양이며 유한함을 보여준다. 또한 관련 기울인 곱 맵에서 유일한 $ h $-동형 측도와 유일한 절대 연속 불변 확률 측도가 존재함을 증명하며, 이들은 서로 동치이고 메트릭적으로 정확하며, 임계점을 포함하는 반군 역학으로 동형 측도 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We consider the dynamics of semi-hyperbolic semigroups generated by finitely many rational maps on the Riemann sphere. Assuming that the nice open set condition holds it is proved that there exists a geometric measure on the Julia set with exponent $h$ equal to the Hausdorff dimension of the Julia set. Both $h$-dimensional Hausdorff and packing measures are finite and positive on the Julia set and are mutually equivalent with Radon-Nikodym derivatives uniformly separated from zero and infinity. All three fractal dimensions, Hausdorff, packing and box counting are equal. It is also proved that for the canonically associated skew-product map there exists a unique $h$-conformal measure. Furthermore, it is shown that this conformal measure admits a unique Borel probability absolutely continuous invariant (under the skew-product map) measure. In fact these two measures are equivalent, and the invariant measure is metrically exact, hence ergodic.

연구 동기 및 목표

• 리만 구면 위의 유한 개의 유리 함수로 생성된 반타원형 유리 함수 반군의 카우프만 집합의 프랙탈 기하학을 조사한다.
• 아름다운 열린 집합 조건 하에서 카우프만, 패킹, 상자수세기 차원의 동일성과 유한성을 규명한다.
• 반군과 관련된 기울인 곱 맵에 대해 $ h $-동형 측도의 존재와 유일성을 확립한다.
• 카우프만 측도에 대해 절대 연속이면서 기울인 곱 맵에 대해 불변인 유일한 보렐 확률 측도의 존재를 증명한다.
• 특히 카우프만 집합 내 임계점을 다루는 반군 역학으로 동형 측도 이론을 확장한다.

제안 방법

• 비단사성 사상과 카우프만 집합 내 임계점을 포함하는 경우를 다룰 수 있도록 동형 반복 함수계와 확장 유리 함수 반군 역학의 기법을 적응한다.
• 비단사성 사상에서 전이의 행동을 제어하기 위해 측도의 추정 가능성의 일반화된 개념을 도입한다.
• 측도 이론적 분석을 위해 반군 작용을 섬유화된 동역학계로 올리는 기울인 곱 맵 구성 기법을 사용한다.
• 카우프만 집합의 역방향 이미지에서의 겹침을 보장하고 제어하기 위해 아름다운 열린 집합 조건을 적용한다.
• 카우프만 차원 $ h $ 를 식별하기 위해 포incare 급수 임계 지수를 사용하며, 이는 상자수세기 차원과 패킹 차원과 동일함을 보여준다.
• 잠재론적 및 기하학적 추론을 통해 유일한 $ h $-동형 측도의 존재를 증명한 후, 이 측도가 유일한 불변 확률 측도와 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반타원형 유리 함수 반군의 카우프만 집합에서 아름다운 열린 집합 조건 하에 카우프만, 패킹, 상자수세기 차원이 일치하는가?
• RQ2 카우프만 차원과 동일한 지수 $ h $ 를 가진 카우프만 집합 위의 기하 측도가 존재하는가? 이 경우 $ h $-차원 카우프만 측도와 패킹 측도 모두 유한하고 양수인가?
• RQ3 이러한 반군의 표준적으로 관련된 기울인 곱 맵에 대해 유일한 $ h $-동형 측도가 존재하는가?
• RQ4 카우프만 측도에 대해 절대 연속이면서 기울인 곱 맵에 대해 불변인 카우프만 집합 위의 유일한 보렐 확률 측도가 존재하는가?
• RQ5 카우프만 측도와 패킹 측도 사이의 라돈-니코다임 도함수는 일정하게 0과 무한대로부터 멀리 떨어져 있는가?

주요 결과

• 카우프만 집합 $ J(G) $ 의 카우프만, 패킹, 상자수세기 차원은 모두 동일하고 유한하며, $ \\text{HD}(J(G)) = h < 2 $ 이다.
• $ J(G) $ 에서의 $ h $-차원 카우프만 측도와 패킹 측도는 모두 유한하고 양수이며, 상호 동치이며, 라돈-니코다임 도함수는 일정하게 0과 무한대로부터 멀리 떨어져 있다.
• 반군 $ G $ 의 포incare 급수의 임계 지수는 카우프만 집합의 카우프만 차원 $ h $ 와 같다.
• 기울인 곱 맵 $ \tilde{f} $ 의 카우프만 집합에 대해 유일한 $ h $-동형 측도 $ \tilde{m}_h $ 가 존재한다.
• $ J(\tilde{f}) $ 에서 카우프만 측도에 대해 절대 연속이며, 기울인 곱 맵에 대해 불변인 유일한 보렐 확률 측도 $ \tilde{\mu}_h $ 가 존재한다. 이 측도는 메트릭적으로 정확하고 에르고딕하다.
• 동형 측도 $ \tilde{m}_h $ 와 불변 측도 $ \check{\mu}_h $ 는 서로 동치이며, 라돈-니코다임 도함수는 상한과 하한으로 유계이다.