[논문 리뷰] Meromorphic Levy processes and their fluctuation identities

Alexey Kuznetsov, Andreas E. Kyprianou외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유리 함수로 표현된 실수 극점과 라플라스 지수의 근을 통해 위너-호프 인수를 갖는 새로운 레비 과정인 유리형 레비 과정(M-과정)을 소개한다. 저자들은 역 라플라스 변환과 수치 적분을 통해 첫 번째 통과 시간, 오버슈트 및 반사된 과정에 대한 명시적 변동 항등식을 유도하여, 위험 이론, 금융 및 큐잉 모델에서 공동 분포를 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

The last couple of years has seen a remarkable number of new, explicit examples of the Wiener-Hopf factorization for Levy processes where previously there had been very few. We mention in particular the many cases of spectrally negative Levy processes, hyper-exponential and generalized hyper-exponential Levy processes, Lamperti-stable processes, Hypergeometric processes, Beta-processes and Theta-processes. In this paper we introduce a new family of Levy processes, which we call Meromorphic Levy processes, or just M-processes for short, which overlaps with many of the aforementioned classes. A key feature of the M-class is the identification of their Wiener-Hopf factors as rational functions of infinite degree written in terms of poles and roots of the Levy-Khintchin exponent, all of which appear on the imaginary axis of the complex plane. The specific structure of the M-class Wiener-Hopf factorization enables us to explicitly handle a comprehensive suite of fluctuation identities that concern first passage problems for finite and infinite intervals for both the process itself as well as the resulting process when it is reflected in its infimum. Such identities are of fundamental interest given their repeated occurrence in various fields of applied probability such as mathematical finance, insurance risk theory and queuing theory.

연구 동기 및 목표

• 라플라스 지수의 근과 실수 극점을 통해 유리 함수 형태로 표현 가능한 위너-호프 인수를 갖는 새로운 레비 과정—유리형 레비 과정—을 정의하는 것.
• 기존에 알려진 클래스를 초월하여 유한 및 무한 간격에 대한 첫 번째 통과 문제에 대한 명시적 변동 항등식을 확장하는 것.
• 역 라플라스 변환을 통해 게르베르-샤우 메처 및 할인된 오버슈트 분포에 대한 계산 가능 공식을 제공하는 것.
• 스토케스틱 볼라티리티를 갖는 금융 모델링에서의 응용을 위해 시간에 따라 변화하는 레비 과정으로의 프레임워크 확장

제안 방법

• 라플라스 지수의 실수 극점과 근을 갖는 것으로 정의된 M-과정을 통해 위너-호프 인수의 유리 함수 표현을 가능하게 한다.
• 위너-호프 인수분해를 이용해 역 라플라스 변환을 통해 게르베르-샤우 메처 및 할인된 오버슈트에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 라플라스 변환 변수 q를 포함한 복소 적분 표현을 통해 첫 번째 통과 시간과 오버슈트의 공동 밀도를 구성한다.
• 표준 알고리즘을 사용해 수치적으로 역변환 가능한 복소 적분 표현을 활용하여 밀도를 효율적으로 계산하기 위해 필론 유형의 구적법과 근 및 극점의 무한 급수의 절단 기법을 적용한다.
• 모든 항등식이 첫 번째 통과 시간의 라플라스 변환을 포함하고 있음을 활용하여 공동 공간-시간 분포에 대한 수치적 푸리에 역변환을 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변화하는 과정의 라플라스 변환이 알려져 있을 경우, 원래 항등식의 구조를 유지하면서 결과를 시간에 따라 변화하는 레비 과정으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라스 지수의 실수 극점과 근을 갖는 무한 차수의 유리 함수 형태로 표현 가능한 위너-호프 인수를 갖는 새로운 레비 과정의 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 과정에 대해 유한 및 무한 간격에서의 첫 번째 통과 문제에 대한 명시적 변동 항등식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 이 클래스에서 첫 번째 통과 시간과 오버슈트의 공동 밀도를 효율적으로 계산할 수 있는 수치적 방법은 무엇인가?
• RQ4 이 프레임워크는 스토케스틱 볼라티리티를 갖는 시간에 따라 변화하는 레비 과정으로 확장될 수 있으며, 분석적 취급 가능성은 유지되는가?
• RQ5 실제 구현을 위한 제안된 수치적 역변환 방법의 계산 효율성은 어떠한가?

주요 결과

• M-과정의 위너-호프 인수는 라플라스 지수의 실수 극점과 근을 중심으로 한 무한 곱으로 표현되며, 이는 명시적 변동 항등식을 가능하게 한다.
• 오버슈트와 첫 번째 통과 시간의 공동 밀도는 라플라스 변환 변수 q를 포함한 복소 적분으로 주어지며, 이는 표준 알고리즘을 통해 수치적으로 역변환 가능하다.
• 밀도 u(s,x)의 수치적 계산은 100개의 근과 200개의 극점에서 절단할 경우, q₀ = 0.25 및 |Im(q)| < 10⁴ 조건에서 그래프당 약 1.2초가 소요된다.
• 이 방법은 비드라이프 및 선형 드리프트 래더 과정을 모두 성공적으로 포착하며, 과정 유형에 따라 선형 추세 또는 0에서의 원자에 질량이 집중된다.
• 시간에 따라 변화하는 과정의 라플라스 변환이 알려져 있을 경우, 이 프레임워크는 스토케스틱 볼라티리티를 갖는 모델로 직접 확장 가능하다.
• 모든 유도된 항등식은 라플라스 지수의 근/극점과 기본 선형 대수를 사용하여 명시적으로 계산 가능하며, 오버슈트 및 마지막 최대값과 같은 공간 변수에 대해 닫힌 형태의 표현식이 존재한다.