[논문 리뷰] Metrics on universal covering of projective variety

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 14.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특수한 계량 $Λ_{\mathcal{L}}$, $Σ_{\mathcal{L}}$, 및 $β$ 를 비특이 프로젝티브 다양체 $X$ 의 보편 피복 $U_X$ 에 정의한다. $X$ 의 기본군이 크고 잔여적으로 유한하며 비아메니블일 조건 하에, $U_X$ 는 $\mathbb{C}^n$ 안의 유계 스타인 도메인임을 증명하며, 이는 균일화 결과를 확립하고, 잔여 유한성과 비아메니블성 조건 하에서 샤파레비치의 예측에 대한 확인을 이끌어낸다.

ABSTRACT

Let U be a universal covering of a connected nonsingular projective variety X with large and residually finite fundamental group. We construct metrics on U and provide another version of the uniformization theorem, namely: if the fundamental group of X is, in addition, nonamenable then U is a bounded Stein domain. The Appendix contains a proof of the Shafarevich conjecture provided the fundamental group is residually finite.

연구 동기 및 목표

• 오직 $\pi_1(X)$ 에 대한 가정만을 사용하여 비특이 프로젝티브 다양체 $X$ 의 보편 피복 $U_X$ 에 대한 균일화 정리를 확립하는 것.
• 보편 피복 $U_X$ 에 계량 $\Lambda_{\mathcal{L}}$, $\Sigma_{\mathcal{L}}$, 및 $β$ 를 정의하기 위해 해석 함수와 캐논리컬 배럴의 단면을 사용하는 것.
• $\pi_1(X)$ 가 비아메니블일 경우 $U_X$ 가 유계 스타인 도메인임을 증명하여 샤파레비치의 해석적 볼록성에 대한 예측을 확인하는 것.
• $U_X$ 에서의 디아스타시스 구성법을 확장하고, 이를 통해 부분레벨 집합의 상대적 컴acts를 증명하며, 이는 스타인성의 핵심 단계이다.
• 잔여 유한성과 비아벨리안 기본군 조건 하에서 특이점이 있는 정규 프로젝티브 다양체로 결과를 일반화하는 것. 자세한 내용은 향후 작업에 기재될 예정이다.

제안 방법

• 보편 피복 $U_X$ 에 계량 $\Lambda_{\mathcal{L}}$ 를 정의하기 위해, 임bedding $X \hookrightarrow \mathbb{P}^r$ 를 정의하는 매우 앰플 라인 배럴 $\mathcal{L}$ 을 사용한다.
• $\pi_1(X)$ 가 비아메니블일 경우, 체적 형식 $dv_{\Lambda}$ 에 대한 $L^2$-해석 함수를 사용하여 베르그만 유형 계량 $\Sigma_{\mathcal{L}}$ 을 정의한다.
• 큰 $q$ 에 대해 $\mathcal{K}_X^q$ 의 $L^2$ 단면을 사용하여 계량 $\beta$ 를 정의하고, 이는 무한차원 프로젝티브 공간으로의 자연스러운 임bedding 을 이끌어낸다.
• 카일러 계량에 대한 디아스타시스 구성법을 $U_X$ 에 적용하고, 경로 沿해의 해석적 계속을 통해 디아스타시스 포텐셜 $\mathbb{P}_{U_X}$ 를 전역적으로 확장한다.
• 오카-그라우에르트-나라시안 정리를 적용하기 위해, 부분레벨 집합 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ 이 상대적으로 컴acts 임을 보여준다.
• 캠판아-델리뉴 정리를 이용하여 일반적인 곡선 섹션 $C \subset X$ 의 기하학을 $R_C = \tau^{-1}(C)$ 라는 리만 곡면으로 옮기고, 커버링의 타워를 통해 디아스타시스가 이산 집합에서 무한히 커짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\pi_1(X)$ 에 어떤 조건이면, 프로젝티브 다양체의 보편 피복 $U_X$ 가 유계 스타인 도메인으로 균일화될 수 있는가?
• RQ2 잔여 유한성과 비아메니블성과 같은 기본군에 대한 가정만으로 샤파레비치의 해석적 볼록성에 대한 예측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 곡선 섹션 $C$ 에 대해 $g(C) \geq 2$ 이고 $X$ 가 큰 잔여적으로 유한한 $\pi_1(X)$ 와 함께 $U_X$ 에서 디아스타시스를 어떻게 전역적으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 $\pi_1(X)$ 가 비아메니블일 경우, 스타인성을 유도할 수 있는 충분한 성장을 가진 베르그만 유형 계량의 존재를 보장하는 데에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비아벨리안이고 잔여적으로 유한한 $\pi_1(X)$ 를 가진 특이점이 있는 정규 프로젝티브 다양체로 균일화 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 크고 잔여적으로 유한하며 비아메니블인 $\pi_1(X)$ 를 가진 비특이 프로젝티브 다양체 $X$ 의 보편 피복 $U_X$ 는 $\mathbb{C}^n$ 안의 유계 스타인 도메인이다.
• 주어진 조건 하에서 디아스타시스 포텐셜 $\mathbb{P}_{U_X}$ 는 $U_X$ 전역에 걸쳐 해석적 계속을 통해 전역적으로 연장될 수 있으며, 이는 부분레벨 집합의 상대적 컴acts를 증명하는 데 필수적이다.
• 부분레벨 집합 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ 는 $U_X$ 에서 상대적으로 컴팩트하며, 이는 $U_X$ 가 해석적으로 볼록하고 따라서 스타인임을 의미한다.
• 큰 $q$ 에 대해 $\mathcal{K}_X^q$ 의 $L^2$ 단면을 사용한 계량 $\beta$ 의 구성은 $U_X$ 를 무한차원 프로젝티브 공간으로 자연스럽게 임베딩하게 하며, 이는 $\pi_1(X)$ 가 매우 크다는 것을 암시한다.
• 캐논리컬 배럴 $\mathcal{K}_X$ 는, $\pi_1(X)$ 가 비아메니블일 경우 $U_X$ 에서 베르그만 유형 계량 $\Sigma_{\mathcal{L}}$ 의 존재에 따라 앰플하다.
• 균일화 정리의 증명은 그리피스 균일화 정리에 의존하지 않으며, 대신 디아스타시스와 오카-그라우에르트-나라시안 정리를 사용하여 새로운 직접적 증명을 제공한다.