[논문 리뷰] Mild and classical solutions for fractional evolution differential equation

J. Vanterler da C. Sousa, Thabet Abdeljawad외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 14.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 힐러 분수계 도함수를 포함하는 분수계 진화 미분방정식에 대해 온화해와 고전해의 존재성과 유일성을 확립한다. 바나흐 수축정리, 그론발의 부등식, 및 $(\alpha,\beta)$-해결연산자 함수를 이용하여, 적절한 조건 하에 유일한 해가 존재하고 초기 자료에 대해 연속적으로 의존함을 증명한다.

ABSTRACT

Investigating the existence, uniqueness, stability, continuous dependence of data among other properties of solutions of fractional differential equations, has been the object of study by an important range of researchers in the scientific community, especially in fractional calculus. And over the years, these properties have been investigated more vehemently, as they enable more general and new results. In this paper, we investigate the existence and uniqueness of a class of mild and classical solutions of the fractional evolution differential equation in the Banach space $Ω$. To obtain such results, we use fundamental tools, namely: Banach contraction theorem, Gronwall inequality and the $β$-times integrated $β$-times integrated $α$-resolvent operator function of an $(α,β)$-resolvent operator function.

연구 동기 및 목표

• 힐러 도함수를 포함하는 분수계 진화 미분방정식의 온화해와 고전해의 존재성과 유일성을 조사한다.
• 리만-리우빌 및 카프토 도함수를 통합하는 더 일반적인 힐러 도함수를 도입하여 기존 분수계 미분방정식 결과를 확장한다.
• 기능해석학적 도구를 활용하여 해가 초기 자료와 시스템 매개변수에 대해 연속적으로 의존함을 수립한다.
• 힐러 분수계 진화방정식의 맥락에서 $\beta$-회 통합된 $\alpha$-해결연산자 함수를 통해 정의된 새로운 해의 클래스를 도입한다.
• 비국소 조건과 분포 지연을 고려한 분수계 진화방정식을 연구하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 완비 거리공간에서 연속함수의 집합에 대해 바나흐 수축정리를 적용하여 온화해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 일반화된 그론발 부등식을 적용하여 $C_{1-\gamma}$-공간에서 해의 연속성과 안정성 성질을 확립한다.
• $(\alpha,\beta)$-해결연산자와 관련된 $\beta$-회 통합된 $\alpha$-해결연산자 함수를 이용하여 온화해를 정의한다.
• 분수계 도함수 $^H\!\mathbb{D}_{t_0^+}^{\alpha,\beta}$를 사용하며, 여기서 $0 < \alpha \leq 1$ 이고 $0 \leq \beta \leq 1$ 이다. 이는 리만-리우빌 및 카프토 도함수를 일반화한다.
• 해결연산자에서 유도된 커널 $K_\alpha(t-s)$와 며칠레-레프러 함수를 포함하는 적분방정식을 통해 온화해를 정의한다.
• 온화해가 원래의 분수계 미분방정식과 초기조건을 만족함을 검증함으로써 고전해임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간에서 힐러 도함수를 포함하는 분수계 진화방정식에 대해 온화해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비국소 초기조건과 분포 지연 하에서 온화해의 유일성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 힐러 유형의 분수계 진화방정식 맥락에서 온화해와 고전해의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $\beta$-회 통합된 $\alpha$-해결연산자 함수는 방정식의 해 구조에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 일반화된 그론발 부등식은 초기 자료와 시스템 매개변수에 대한 해의 연속적 의존성 증명에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비선형 항의 리프시츠 연속성과 해결연산자의 유계성 조건 하에서 바나흐 수축정리를 이용하여 온화해의 존재성과 유일성을 확립하였다.
• 고전해가 온화해와 일치함을 보여, 온화해가 물리적 및 공학적 응용에 대해 강력한 후보임을 검증하였다.
• 그론발 부등식과 $C_{1-\gamma}$-공간에서의 해결연산자 유계성에 기반하여, 해가 초기 자료에 대해 연속적으로 의존함을 입증하였다.
• 비국소 조건을 만족하는 초기 조건 $I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_0^+) + \sum_{k=1}^p C_k I_{t_0^+}^{1-\gamma}u(t_k) = u_0$ 을 해가 만족함을 확인하여 일관성을 확보하였다.
• 추정식 $\|u(t+h) - u(t)\|_{C_{1-\gamma}} \leq \widetilde{\delta}h \mathbb{E}_\alpha[MC(1+rk)\Gamma(\alpha)a^\alpha]$ 를 통해 시간에 대한 해의 연속성을 증명하였으며, 여기서 $\mathbb{E}_\alpha$ 는 며칠레-레프러 함수이다.
• 증명을 통해 온화해 $u(t)$ 가 주어진 조건 하에 원래 방정식 (1.1)–(1.2)를 만족함을 확인하여, 고전해임을 검증하였다.