[논문 리뷰] Mixed Periodic-classical barrier strategies for Lévy risk processes

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 06.

Probability and Risk Models참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르로 음성 레비 위험 과정에 대해 주기적(파리시안) 반사 전략과 고전적 반사 전략을 혼합한 전략을 제안한다. 여기서 배당 지급은 포아송 도착 시간에 이루어지며(주기적 반사), 또는 상하의 장벽에서 고전적 반사 방식으로 이루어진다. 척도 함수와 산출 이론을 사용하여, 배당과 자본 증자를 위한 기대 순현재가의 변동 정체식을 명시적으로 유도한다. 이는 기존의 연속적 제어 메커니즘에서의 고전적 결과를 이산 시간 제어 메커니즘으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a spectrally negative Lévy process and independent Poisson observation times, we consider a periodic barrier strategy that pushes the process down to a certain level whenever it is above it. We also consider the versions with additional classical reflection above and/or below. Using scale functions and excursion theory, various fluctuation identities are computed in terms of the scale function. Applications in de Finetti's dividend problems are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 배당 및 자본 증입 전략을 모델링하여, 결정이 연속이 아닌 이산적인 포아송 관측 시간에만 이루어지는 보험 위험 과정을 다루는 것.
• 기존의 반사 레비 과정에 대한 변동 이론을 주기적(파리시안) 반사까지 확장하여, 이산적 및 연속적 제어 메커니즘을 통합하는 것.
• 다양한 하이브리드 장벽 전략 하에서 기대 순현재가(NPV)에 대한 명시적 표현을 도출하는 것.
• 데 피네티의 배당 문제에서 포아송 관측을 통한 주기적 모니터링이 최적일 것으로 추측되는 배당 및 자금 지원 전략에 대한 이론적 기초를 제공하는 것.
• 스케일 함수를 사용하여 고전적 반사와 주기적 반사를 동시에 포함하는 통합 프레임워크 안에서 기존의 반사 레비 과정 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 네 가지 제어 과정을 정의한다: (1) 상단에서의 파리시안 반사, (2) 상단에서의 파리시안 반사와 고전적 반사, (3) 상단에서의 파리시안 반사와 하단에서의 고전적 반사, (4) 주기적 간섭이 있는 완전한 双방향 반사.
• 변동 정체식을 표현하기 위해 척도 함수 $W^{(q)}$, $Z^{(q)}$, 그리고 그 변형 $Z^{(q)}(x,\theta)$, $\tilde{Z}^{(q,r)}$, $\overline{W}^{(q)}$, $\overline{Z}^{(q)}$ 를 사용한다.
• 산출 이론과 공간의 동질성을 적용하여 문제를 척도 함수와 그 도함수를 포함하는 첫 번째 통과 및 첫 번째 외출 정체식으로 단순화한다.
• 척도 함수와 그 도함수를 사용하여 총 배당률의 라플라스 변환을 통해 기대 NPV를 도출한다.
• 단조 수렴과 극한 추론을 사용하여 $q=0$ 및 $q>0$ 의 경우, 그리고 $-\infty$ 또는 $\infty$ 에서의 경계 조건에 대해 결과를 도출한다.
• 척도 함수와 도함수 $\psi'(0+)$ 간의 관계를 수립하고, $\Phi(q+r)$ 를 통한 위너-홉프 분해를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배당이 포아송 관측 시간에만 이루어지는 주기적 장벽 전략 하에서 기대 순현재가(NPV)는 무엇인가?
• RQ2 고전적 반사와 주기적 반사는 하이브리드 전략에서 어떻게 상호작용하는가? 그 결과로 도출되는 제어 과정의 변동 정체식은 무엇인가?
• RQ3 주기적 반사와 고전적 반사를 동시에 적용할 경우, 기대 NPV에 대한 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ4 극한 추론을 통해 결과가 무한 수명 주기와 할인율이 0인 경우($q=0$)로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 혼합 전략에 대한 변동 정체식은 척도 함수와 그 도함수를 통해 간결하게 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 주기적 장벽 전략(상단에서의 파리시안 반사) 하에서의 기대 NPV는 $\mathbb{E}_x\left[\int_{[0,\infty)} e^{-qt} dR_r^a(t)\right] = \frac{1}{q}\left(\frac{\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)}{Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))} - \frac{q\overline{Z}^{(q)}(-a) + \psi'(0+)}{Z^{(q)}(-a)}\right) J_a^{(q,r)}(x) - H_a^{(q,r)}(x)$ 로 표현되며, 여기서 $J_a^{(q,r)}(x)$ 와 $H_a^{(q,r)}(x)$ 는 척도 함수를 통해 정의된다.
• 하단에서의 고전적 반사와 상단에서의 주기적 반사 전략의 경우, 기대 NPV는 $Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))$, $\overline{W}^{(q+r)}(x)$, $\overline{Z}^{(q,r)}_a(x)$ 를 포함하며, $\psi'(0+)$ 를 포함하는 명시적 수정 항이 있다.
• 단조 수렴을 통해 $q=0$ 의 경우로 확장되어, 할인율이 없는 경우에도 표현식이 그대로 유효함을 보였다.
• 도함수 $\psi'(0+)$ 는 척도 함수 정체식에 자연스럽게 나타나며, 레비 과정의 영점에서의 기울기 행동을 반영한다.
• 주기적 간섭이 있는 이중 반사 과정 하에서의 기대 NPV에 대한 닫힌 형식의 표현식을 유도하였으며, $\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)$, $Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))$, $\overline{W}^{(q+r)}(x)$ 를 포함한다.
• 핵심 정체식은 척도 함수 프레임워크 내에서 주기적 반사와 고전적 반사의 병합 효과를 반영하는 비율 $\frac{\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)}{Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))}$ 를 포함한다.