[논문 리뷰] Mocking the u-plane integral

Georgios Korpas, Jan Manschot외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 29.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 51인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 b₁=0, b₂⁺=1인 4차원 다양체 위의 N=2 SU(2) 양자역학 이론에서 u-평면 적분이 점 관측량의 경우 모크 모듈라 형식과 표면 관측량의 경우 Appell-Lerch 합을 사용하여 효율적으로 계산됨을 보여준다. 효과적 결합 상수 τ로의 변환과 스토크스 정리를 적용함으로써 적분은 특이점에서의 경계 기여로 줄어들며, 이는 지수형 관측량의 진공 기대값이 푸가시티 변수에 대한 정칙 함수임을 드러낸다.

ABSTRACT

The u-plane integral is the contribution of the Coulomb branch to correlation functions of N=2 gauge theory on a compact four-manifold. We consider the u-plane integral for correlators of point and surface observables of topologically twisted theories with gauge group SU(2), for an arbitrary four-manifold with (b1,b2+)=(0,1). The u-plane contribution equals the full correlator in the absence of Seiberg-Witten contributions at strong coupling, and coincides with the mathematically defined Donaldson invariants in such cases. We demonstrate that the u-plane correlators are efficiently determined using mock modular forms for point observables, and Appell-Lerch sums for surface observables. We use these results to discuss the asymptotic behavior of correlators as function of the number of observables. Our findings suggest that the vev of exponentiated point and surface observables is an entire function of the fugacities.

연구 동기 및 목표

• b₁=0, b₂⁺=1인 컴act 4차원 다각체 위의 N=2 SU(2) 양자역학 이론에서 상관함수에 대한 u-평면 기여를 계산하는 것.
• 특수 케이스인 유리 면이나 룰딩 면 외의 일반적인 4차원 다각체에 대해 u-평면 적분을 평가하는 일반적인 방법을 확립하는 것.
• u-평면 상관함수를 모크 모듈라 형식과 Appell-Lerch 합과 연결하여 임의의 4차원 다각체에 대해 통합된 프레임워크를 제공하는 것.
• 지수형 점 관측량과 표면 관측량의 진공 기대값이 푸가시티 변수에 대해 정칙 함수임을 보이는 것.

제안 방법

• u-평면 적분을 u에서 효과적 결합 상수 τ로 변환하여 적분 영역을 모듈라 기본 영역 H/Γ⁰(4)로 매핑하는 것.
• 적분식을 dτ ∧ dτ̄ ∂τ̄(du/dτ H_O)의 전미분 형태로 표현함으로써 스토크스 정리를 적용할 수 있도록 하는 것.
• u-평면 적분을 u = ∞, +1, -1에서의 세 개의 특이점 주변의 경계 적분으로 줄이는 것.
• H_O(τ, τ̇)가 양호한 모듈라 성질을 가지며, 점 관측량의 경우 모크 모듈라 형식으로 표현될 수 있음을 보이는 것.
• 표면 관측량의 경우, 야코비 형식의 비해석적 완성에 의해 Appell-Lerch 합으로 적분을 유도하는 것.
• 부정부정적 테타 함수를 통한 벽을 넘는 공식을 사용하여 결과를 특수한 계량을 초월해 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 b₂⁺=1이고 b₁=0인 일반적인 4차원 다각체에 대해, 기존의 유리 면이나 룰딩 면 외의 경우에 대해 u-평면 적분을 체계적으로 평가할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 u-평면 상관함수의 모듈라 구조는 무엇이며, 모크 모듈라 형식과 Appell-Lerch 합과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 지수형 점 관측량과 표면 관측량의 진공 기대값은 푸가시티 변수에 대해 정칙 함수로 정의되는가?
• RQ4 일반적인 b₂⁺=1 4차원 다각체에 대해 u-평면 기여는 도널드슨 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 적절한 변수 변환을 통해 스토크스 정리를 사용하여 u-평면 적분을 경계항으로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 스토크스 정리를 통해 u-평면 적분은 u = ∞, +1, -1에서의 세 특이점 주변의 경계 적분의 합으로 줄어든다.
• 점 관측량의 경우, u-평면 상관함수는 모크 모듈라 형식으로 표현되며, 이는 비해석적 모듈라 형식의 해석적 부분이다.
• 표면 관측량의 경우, 상관함수는 야코비 형식의 비해석적 완성에서 유도되는 Appell-Lerch 합으로 표현된다.
• 지수형 점 관측량과 표면 관측량의 진공 기대값은 특이점들이 모듈라 성질에 의해 상쇄되어 푸가시티 변수에 대해 정칙 함수이다.
• 계량이 일반적이라도 결과는 유지되며, 모듈라 구조가 이중성 변환에 대해 일관성을 보이기 때문이다. 특히 계량이 대칭성을 깰 경우에도 마찬가지다.
• 도널드슨 불변량과의 연결이 확립되었다: Seiberg-Witten 기여가 없는 경우 u-평면 기여는 전체 상관함수와 일치하며, b₂⁺=1 다각체에 대해 수학적 도널드슨 불변량의 정의와 일치한다.