[논문 리뷰] Mod p Hecke algebras and dual equivariant cohomology I: the case of $GL_2$

Cédric Pépin, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 체 위의 $GL_2$에 대한 mod $p$ pro-$p$ Iwahori-Hecke 대수의 차원 2인 초특이 기약 모듈을, $\widehat{GL}_2$--equivariant $K$-이론과 $
$-교차 homology의 플라그 다양체 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 의 부분몫으로 실현한다. 이는 $\mathbf{q}=0$에서의 Demazure 연산자를 통해 구성된 Hecke 대수의 충실한 작용을 통해 이루어지며, 이는 $GL_2$에 대한 mod $p$ 국소 Langlands 대응을 실현한다. 이 구성은 Hecke 대수의 중심을 점의 $\widehat{GL}_2$-equivariant $K$-이론과 동일시하며, 초특이 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈의 범주에서 에탈 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 범주로의 완전 충실한 함자를 제공하여, 2차원 갈로아 표현과의 대응을 유도한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a p-adic local field and $G=GL_2(F)$. Let $\\mathcal{H}^{(1)}$ be the pro-p Iwahori-Hecke algebra of $G$ with coefficients in an algebraic closure of $\\mathbb{F}_p$. We show that the supersingular irreducible $\\mathcal{H}^{(1)}$-modules of dimension 2 can be realized through the equivariant cohomology of the flag variety of the mod p Langlands dual group of $G$.

연구 동기 및 목표

• 차원 2인 초특이 기약 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈이 $GL_2$에 대한 $p$-진 체 위에서 $\widehat{GL}_2$의 Langlands 쌍대군의 플라그 다양체에 대한 $\widehat{GL}_2$-equivariant 코homological 불변량의 부분몫으로 실현될 수 있는가를 밝히는 것.
• mod $p$ Iwahori-Hecke 대수 $\mathcal{H}$가 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$의 $\widehat{GL}_2$-equivariant $K$-이론 위에 충실한 작용을 가지며, 이는 고전적 Demazure 연산자 $\mathbf{q}=0$에서의 확장으로서 구성되는가를 밝히는 것.
• 초특이 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈의 범주에서 $k((t))$ 위의 에탈 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 범주로의 완전 충실한 함자를 구축하여, $GL_2$에 대한 mod $p$ 국소 Langlands 대응을 실현하는 것.
• Hecke 대수 $\mathcal{H}$의 중심이 작용과 기저 환의 식별을 통해 점의 $K$-이론과 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 대수의 표현과 $\mathbf{q}=0$에서의 Demazure 연산자 확장을 이용하여 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 위에 자연스러운 $\mathcal{H}$-작용을 구성한다.
• 그들은 $\mathbf{q}=0$에서의 확장된 Demazure 표현 $\mathscr{A}_{\mathbb{F}_p}^{\operatorname{nil}}(\mathbf{q})$를 정의하고, 그 충실성을 증명하여 중심 $Z(\mathcal{H})$가 $K^{\widehat{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$와 동형임을 규명한다.
• 이 구성은 초특이 모듈의 구조를 캡처하는 $k[[t]][\varphi,\Gamma]$-모듈의 구조를 가진 $\mathscr{A}_{2,\mathbb{F}_p}$라는 변형 표현을 포함한다.
• $\Gamma$-작용을 $\Delta(M) = (k[[t]][\varphi] \otimes_{k[[t]]} M)/\nabla(M)$의 몫에 적용하여, 무게 $(k_0, k_1)$를 가진 토피컬 표준 순환 모듈을 정의하며, 이는 국소 클래스 체계 이론을 통해 갈로아 표현과 연결된다.
• 핵심 연결 고리는 $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$인 함자이며, 이는 차원 2인 에탈 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 유도하며, 이 함수자가 완전 충실함을 보인다.
• 역 대응 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$는 갈로아 및 Hecke 설정에서의 무게와 중심 문자의 비교를 통해 원래의 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈을 복원함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 2인 초특이 기약 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈이 $\widehat{GL}_2$-equivariant 코homology 이론의 부분몫으로서 플라그 다양체 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 위에서 실현될 수 있는가?
• RQ2 $\mathbf{q}=0$에서의 고전적 Demazure 연산자가 전체 mod $p$ Iwahori-Hecke 대수 $\mathcal{H}$의 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 위에 충실한 작용으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 초특이 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈의 범주에서 $k((t))$ 위의 에탈 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 범주로의 완전 충실한 함자가 존재하는가?
• RQ4 초특이 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈의 중심 문자와 무게 자료가 국소 Langlands 대응 하에서 대응 갈로아 표현과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• mod $p$ Iwahori-Hecke 대수 $\mathcal{H}$의 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 위의 작용은 $\mathbf{q}=0$에서의 Demazure 연산자에서 유일하게 확장되며, 충실하다.
• 중심 $Z(\mathcal{H})$는 $K^{\widehat{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$와 동형이며, Hecke 작용을 통한 기저 환과의 식별을 통해 자연스러운 동형이 성립한다.
• $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$ 함수자는 완전 충실하며, 초특이 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈을 에탈 $(\varphi,\Gamma)$-모듈로 매핑한다.
• $M \mapsto V(M)$ 대응은 기약 2차원 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈과 기약 2차원 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$-표현 간의 전단사 대응을 유도한다.
• $b=1, i=0$인 갈로아 표현 $\rho = \operatorname{ind}(\omega_{2f}^h)$에 대해, 관련된 $\mathcal{H}^{(1)}$-모듈 $M$은 $\lambda(\operatorname{diag}(x_1,x_2)) = x_2^{h-1}$를 만족하며, 중심 문자와 일致함을 확인하고 역 대응 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$를 확인한다.
• $k[[t]][\varphi,\Gamma]$-모듈 $\Delta(M)$의 무게는 $(k_0, k_1) = (h-1, q-h)$이며, $\Delta(M)^*$의 $\psi$-안정 레이어가 $D^\sharp$임을 보여, 모듈의 구조를 확인한다.