[논문 리뷰] Model Predictive Control for Trajectory Tracking on Differentiable Manifolds

Guozheng Lu, Wei Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 29.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다양체 위에서의 궤적 추적을 위한 일반적인 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크를 제안한다. 이는 다양체 제약 조건을 시스템 동역학에서 분리하여 표준화된 다양체 내 표현 방식을 통해 실현된다. 논문은 다양체 특화 연산($oxplus$/$oxminus$)을 사용해 목표 궤적을 따라 시스템을 선형화하며, 최소한의 파rameter화와 기호적 구현을 통해 노드 없는 효율적인 MPC를 가능하게 한다. 이는 $SO(3)\times\mathbb{R}^n$ 및 곡면 위에서 실시간 UAV 및 UGV 실험을 통해 높은 성능으로 검증되었다.

ABSTRACT

We consider the problem of bridging the gap between geometric tracking control theory and implementation of model predictive control (MPC) for robotic systems operating on manifolds. We propose a generic on-manifold MPC formulation based on a canonical representation of the system evolving on manifolds. Then, we present a method that solves the on-manifold MPC formulation by linearizing the system along the trajectory under tracking. There are two main advantages of the proposed scheme. The first is that the linearized system leads to an equivalent error system represented by a set of minimal parameters without any singularity. Secondly, the process of system modeling, error-system derivation, linearization and control has the manifold constraints completely decoupled from the system descriptions, enabling the development of a symbolic MPC framework that naturally encapsulates the manifold constraints. In this framework, users need only to supply system-specific descriptions without dealing with the manifold constraints. We implement this framework and test it on a quadrotor unmanned aerial vehicle (UAV) operating on $SO(3) imes \mathbb{R}^n$ and an unmanned ground vehicle (UGV) moving on a curved surface. Real-world experiments show that the proposed framework and implementation achieve high tracking performance and computational efficiency even in highly aggressive aerobatic quadrotor maneuvers.

연구 동기 및 목표

• 비유클리드 다양체(예: $SO(3)$, $\mathbb{S}^2$, 2차원 표면) 상에서 진동하는 로봇 시스템을 위한 일반적인 MPC 공식화의 부족을 해결한다.
• 에일러 각도와 같은 최소 파rameter화나 쿼aternion과 같은 과다 파rameter화가 유도하는 노드 또는 정규화 제약 조건을 해결한다.
• 다양체 제약 조건을 시스템 동역학에서 분리하여 특정 다양체에 종속되지 않은 기호적이고 재사용 가능한 MPC 프레임워크를 가능하게 한다.
• 궤적을 따라 선형화 방법을 개발하여 기하학적 구조를 유지하고 노드를 피한다.
• 복잡한 다양체 상에서 작동하는 실제 로봇 시스템에서 높은 궤적 추적 정확도와 계산 효율성을 입증한다.

제안 방법

• 다양체 제약 조건을 직접 시스템 모델에 통합하는 표준 표현 방식을 사용해 다양체 상의 MPC를 공식화한다. 이는 $\boxplus$ 및 $\boxminus$ 연산을 통해 이루어진다.
• 각 점의 접선 공간을 사용해 기준 궤적을 따라 선형화 체계를 도입함으로써 오차 시스템이 최소한의 파rameter로 기술되도록 보장한다.
• 리 군 상의 애드조인트 표현 및 $\text{Exp}$, $\text{Log}$ 사상의 활용을 통해 선형화된 시스템 동역학을 유도함으로써 노드를 피한다.
• 실제 상태와 목표 상태 간의 차이를 다양체 상에서 정의하기 위해 $\boxminus$ 연산을 사용해 오차 시스템을 구성한다.
• 다양체 기술을 시스템 동역학에서 분리하여 사용자가 오직 시스템 전용 동역학과 제약 조건만 입력하면 된다.
• 기호적 방식으로 MPC 프레임워크를 구현함으로써 내장된 다양체 제약 조건을 가진 최적화 문제의 자동 생성을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 공간 가정에 의존하지 않고 일반적인 미분 가능 다양체 상에서 궤적 추적을 위한 MPC를 공식적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 다양체 상에서 궤적 추적을 위한 선형화 방법은 기하학적 구조를 유지하면서 노드를 피할 수 있는가?
• RQ3 다양체 제약 조건이 시스템 동역학에서 얼마나 분리될 수 있는가? 이를 통해 재사용 가능하고 기호적인 MPC 프레임워크를 구현할 수 있는가?
• RQ4 제안된 다양체 내 MPC는 실제 로봇 시스템에서 궤적 추적 정확도와 계산 효율성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 쿼드로터 애로바틱 비행과 같은 극단적인 비선형 및 급격한 조작을 수행할 때에도 안정성과 제약 조건 충족을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 MPC 프레임워크는 $SO(3)\times\mathbb{R}^n$ 상에서 극단적인 애로바틱 비행을 수행하는 멀티로터 UAV에서 높은 궤적 추적 성능을 달성하며, 최소한의 추적 오차를 기록했다.
• 최소 파rameter 오차 시스템과 분리된 다양체 제약 조건 덕분에 계산 효율성이 뛰어나다.
• 에일러 각도에서 기인하는 노드를 피하고, 쿼aternion 기반 접근 방식에서 요구되는 정규화 제약 조건이 필요 없음을 입증했다.
• 곡면을 주행하는 UGV에 대한 실험을 통해, 비평탄하고 비유클리드 다양체 상에서도 정확한 궤적 추적을 유지함을 확인했다.
• 기호적 MPC 프레임워크 덕분에 내장된 다양체 제약 조건을 가진 최적화 문제의 자동 생성이 가능해져 구현 복잡도가 감소했다.
• 실제 실험을 통해 $SO(3)$, $\mathbb{S}^2$, 2차원 표면 등 다양한 다양체에서 안정적이고 정확한 제어 성능을 확보했다.