[논문 리뷰] On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories

Clark Barwick, Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 66

한 줄 요약

이 논문은 강력 생성, 약한 생성, 대응에 대한 내부 Homs, 기본 쌍대곱, 유연성의 다섯 가지 구조적 공리—즉, $(\infty,n)$-카테고리 이론을 축약적으로 기술하는 데에 사용되는 공리들—을 도입함으로써 $(\infty,n)$-카테고리의 호모토피 이론에 대한 유일성 정리를 증명한다. 이 공리들에 따라, 모든 알려진 모델(예: Rezk의 완전한 Segal $\Theta_n$-공간들, $n$-겹 완전한 Segal 공간들 등)이 이 공리들을 만족하며, 따라서 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 작용에 대해 유일하게 동치임을 보인다. 이러한 이론들의 모듈리 공간이 $B(\mathbb{Z}/2)^n$임을 증명함으로써, $(\infty,n)$-카테고리의 보편적이고 본질적으로 유일한 호모토피 이론이 확인된다.

ABSTRACT

We axiomatise the theory of $(\infty,n)$-categories. We prove that the space of theories of $(\infty,n)$-categories is a $B(\mathbb{Z}/2)^n$. We prove that Rezk's complete Segal $Θ_n$-spaces, Simpson and Tamsamani's Segal $n$-categories, the first author's $n$-fold complete Segal spaces, Kan and the first author's $n$-relative categories, and complete Segal space objects in any model of $(\infty,n-1)$-categories all satisfy our axioms. Consequently, these theories are all equivalent in a manner that is unique up to the action of $(\mathbb{Z}/2)^n$.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 구조적 공리 집합을 식별함으로써 $(\infty,n)$-카테고리에 대한 보편적이고 고유한 호모토피 이론을 수립하기 위해.
• Rezk의 완전한 Segal $\Theta_n$-공간들, $n$-겹 완전한 Segal 공간들 등과 같은 서로 다른 $(\infty,n)$-카테고리의 모델들을 동일한 공리적 프레임워크 아래 통합하기 위해.
• 이러한 이론들의 공간이 분류공간 $B(\mathbb{Z}/2)^n$임을 증명함으로써, 이러한 모델들 간의 동치관계가 이 군의 작용에 대해 유일함을 보여주기 위해.
• 세포 보존 유도 함자에 의해 유도되는 Quillen 동치를 통해, 모델 범주가 $(\infty,n)$-카테고리의 모델임을 식별할 수 있는 인식 원칙을 제공하기 위해.
• Gepner와 Haugseng의 결과를 활용하여 $(\infty,n)$-카테고리에 대한 강화를 통해 $(\infty,n+1)$-카테고리로 유일성 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 강력 생성, 약한 생성, 대응에 대한 내부 Homs, 기본 쌍대곱(가우트 $n$-카테고리에서 유한한 쌍대곱 다이어그램을 통해 정의됨), 유연성의 다섯 가지 공리를 사용하여 $(\infty,n)$-카테고리 이론을 공리화하기 위해.
• 가우트 $n$-카테고리의 범주를 보편적인 셀룰러 생성 집합으로 사용하며, $k$-셀 $C_k$는 임의의 $n$-카테고리로의 보편 함자로 표현됨.
• 모델 간의 동치의 공간을 분석함으로써 이론의 모듈리 공간이 $B(\mathbb{Z}/2)^n$임을 증명함. 이는 동치의 공간이 연결되어 있고 기본군이 $(\mathbb{Z}/2)^n$임을 보여주며, 따라서 동치관계가 이 군의 작용에 대해 유일함을 의미함.
• 모든 주요 모델—Rezk의 완전한 Segal $\Theta_n$-공간들, $n$-겹 완전한 Segal 공간들, $n$-상대 카테고리들, $(\infty,n-1)$-카테고리에서의 완전한 Segal 공간 대상들—이 공리들을 만족함을 검증함.
• 인식 원칙 수립: $(\infty,n)$-카테고리의 모델 범주 간의 Quillen 수반은 왼쪽 유도 함자가 세포들(즉, $k$-셀 $C_k$)을 약한 동치에 대해 보존할 때에만 Quillen 동치임을 보여줌.
• 인식 원칙을 적용하여, 주요 Quillen 수반(예: Segal $n$-카테고리와 $n$-겹 완전한 Segal 공간들 사이의 수반)이 Quillen 동치임을 증명함으로써 모델의 동치성을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 동치에 대해 $(\infty,n)$-카테고리의 유일한 호모토피 이론이 존재하는가? 만약 그렇다면, 이러한 동치의 공간은 무엇인가?
• RQ2 Rezk의 완전한 Segal $\Theta_n$-공간들, $n$-겹 완전한 Segal 공간들 등과 같은 모든 알려진 $(\infty,n)$-카테고리의 모델들이 공통된 구조적 공리 집합을 만족하는가?
• RQ3 다른 $(\infty,n)$-카테고리의 모델들 간의 동치관계는 잘 정의된 군 작용에 대해 유일하게 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 $(\infty,n)$-카테고리의 모델 범주 간의 Quillen 수반이 Quillen 동치임을 판단할 수 있는 일반적인 기준이 존재하는가?
• RQ5 $(\infty,n)$-카테고리의 유일성은 $(\infty,n)$-카테고리에 대한 강화를 통해 $(\infty,n+1)$-카테고리의 유일성으로 이어지는가?

주요 결과

• $(\infty,n)$-카테고리의 이론 모듈리 공간은 $B(\mathbb{Z}/2)^n$이며, 이는 임의의 두 이론 간의 동치의 공간이 연결되어 있고 기본군이 $(\mathbb{Z}/2)^n$임을 의미한다. 따라서 동치관계는 이 군의 작용에 대해 유일하다.
• 모든 알려진 $(\infty,n)$-카테고리의 모델—Rezk의 완전한 Segal $\Theta_n$-공간들, $n$-겹 완전한 Segal 공간들, $n$-상대 카테고리들, $(\infty,n-1)$-카테고리에서의 완전한 Segal 공간 대상들—이 다섯 개의 공리를 모두 만족함을 확인하여, 이들이 보편적으로 동치임을 확인한다.
• 유일성 정리에 따라 $(\infty,n)$-카테고리의 $(\infty,n+1)$-카테고리 역시 고유함을 띤다. 이는 Gepner와 Haugseng의 결과를 활용하여 $(\infty,n)$-카테고리에 강화된 카테고리들이 $(\infty,n+1)$-카테고리의 모델이 되기 때문이다.
• 인식 원칙이 수립됨: $(\infty,n)$-카테고리의 모델 범주 간의 Quillen 수반은 왼쪽 유도 함자가 세포들(즉, $k$-셀 $C_k$)을 약한 동치에 대해 보존할 때에만 Quillen 동치임을 보여줌.
• Segal $n$-카테고리와 $n$-겹 완전한 Segal 공간들 사이의 표준 Quillen 수반은 왼쪽 유도 함자가 세포를 보존하므로 Quillen 동치임을 확인함.
• 인젝티브 및 프로젝티브 모델 범주인 $\Theta_n$-강화 Segal 카테고리들, 그리고 $\Theta_n$-공간에 강화된 카테고리의 모델 범주들은 모두 상호 Quillen 동치이며, 따라서 모두 $(\infty,n)$-카테고리를 모델링함.