[논문 리뷰] Moderate Deviation Principle for dynamical systems with small random perturbation

Yutao Ma, Ran Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^d$에서 소음이 작은 확률적 미분 방정식(SDE)의 해에 대한 중간 편차 원리(MDP)를 수립한다. 이는 프리들린-웬츠엘의 대규모 편차 이론을 확장한 것으로, 소음 강도 $√{\varepsilon}$가 매우 작지도, 크지도 않은 척도에서 $X^\varepsilon_t$의 점근적 행동을 분석함으로써, MDP의 비용 함수에 대한 변분 공식을 도출하여, 대규모 편차와 가우시안 변동 사이의 정교한 근사 관계를 제공한다.

ABSTRACT

Consider the stochastic differential equation in $ r^d$ dX^{\e}_t&=b(X^{\e}_t)dt+\sqrt{\e}σ(X^\e_t)dB_t X^{\e}_0&=x_0,\quad x_0\in r^d$ where $b: r^d o r^d$ is $C^1$ such that $ \leq C(1+|x|^2)$, $σ: r^d o \MM(d imes n)$ is locally Lipschitzian with linear growth, and $B_t$ is a standard Brownian motion taking values in $ r^n$. Freidlin-Wentzell's theorem gives the large deviation principle for $X^\e$ for small $\e$. In this paper we establish its moderate deviation principle.

연구 동기 및 목표

• 소음이 작은 랜덤 외란을 갖는 확률적 동역계에서 프리들린-웬츠엘의 대규모 편차 원리를 중간 편차로 확장한다.
• 소음 강도 $\sqrt{\varepsilon}$가 점점 작아지지 않는 중간 척도에서 해 $X^\varepsilon_t$의 점근적 행동을 분석한다.
• 기저 SDE의 작용 함수를 이용하여 제어된 SDE를 통해 중간 편차 비용 함수에 대한 변분 공식을 도출한다.

제안 방법

• 연속 미분 가능한 드리프트 $b$와 국소 리프시츠 성질을 갖는 확산 계수를 가진 확률적 미분 방정식 $dX^\varepsilon_t = b(X^\varepsilon_t)dt + \sqrt{\varepsilon}\sigma(X^\varepsilon_t)dB_t$를 수립한다.
• 제어된 과정의 수렴을 분석함으로써 약한 수렴 방법을 적용하여 중간 편차 원리를 증명한다.
• 돈스커-바라다한 변분 공식을 사용하여 제어된 SDE의 작용 함수를 통해 비용 함수를 특성화한다.
• 비선형성에 기인한 드리프트 및 확산 계수의 영향을 다루기 위해 제어된 과정의 컴팩트성과 지수적 등가성을 확립한다.
• 해와 그 제어된 형태의 존재성과 정규성을 보장하기 위해 드리프트 $b$와 확산 계수 $\sigma$에 필요한 조건을 검증한다.
• 제어 과정의 에너지를 포함하는 변분 문제의 해로서 중간 편차 비용 함수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음이 작은 SDE의 중간 편차 행동은 대규모 편차와 중심극한정리의 영역과 어떻게 다를까?
• RQ2 이러한 SDE의 클래스에서 중간 편차를 지배하는 비용 함수의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 드리프트 $b$와 확산 계수 $\sigma$에 주어진 정규성 조건 하에서 약한 수렴 방법을 어떻게 변형하여 중간 편차 원리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 작용 함수의 구조는 중간 편차 척도에서 최적 제어 경로와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $C^1$ 및 선형 성장 조건 하에서 드리프트 $b$와 확산 계수 $\sigma$에 어떤 조건이 중간 편차 원리의 타당성을 보장하는가?

주요 결과

• 제시된 $C^1$ 드리프트와 국소 리프시츠 성질을 갖는 확산 계수 및 선형 성장 조건 하에서 SDE에 대해 중간 편차 원리가 성립한다.
• 중간 편차 원리의 비용 함수는 유한 에너지를 갖는 절대 연속 경로 전역에서 작용 함수의 하한값으로 특성화된다.
• 비용 함수는 제어된 SDE를 통해 표현된 변분 공식으로 기술되며, 프리들린-웬츠엘 프레임워크를 일반화한다.
• 제어된 과정의 수렴은 컴팩트성과 지수적 등가성을 통해 확립되어 MDP의 타당성을 보장한다.
• 결과는 대규모 편차와 가우시안 변동 사이의 다리를 놓으며, 중간 척도의 편차에 대해 정교한 근사를 제공한다.