[논문 리뷰] Modular affine Hecke category and regular unipotent centralizer

Roman Bezrukavnikov, Simon Riche외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성의 체 위의 재수성 군에서 정규 유니포텐트 원소의 중심화자를 표현하는 범주와 랭랜즈 이중 군의 아핀 플라그 다양체 위의 Iwahori-여기어진 펄스브 sheaf의 특정 몫의 기하적 등형성을 확립한다. 결과는 Soergel의 Endomorphismensatz의 모odular 버전이며, 펄스브 sheaf의 Serre 몫을 통해 구성되며, 영점의 원뿔과 중심화자 구조의 기하학과 연결되어 있다.

ABSTRACT

In this paper we provide, under some mild explicit assumptions, a geometric description of the category of representations of the centralizer of a regular unipotent element in a reductive algebraic group in terms of perverse sheaves on the Langlands dual affine flag variety. This equivalence is suggested and motivated by the "geometric Langlands" philosophy, and is used in later work to construct equivalences of categories relating various geometric incarnations of the affine Hecke algebra of the given reductive group.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 아핀 헤이크 대수에 대한 기하 Langlands 등형성의 모듈러 버전을 확립하기 위해.
• 랭랜즈 이중 아핀 플라그 다양체 위의 펄스브 sheaf를 통해 정규 유니포텐트 원소의 중심화자 표현 범주의 기하적 기술을 제공하기 위해.
• Soergel의 Struktursatz와 유사한, 구조적 복합체와 코herent sheaf의 유도 범주 간의 미래 등형성을 위한 기초를 마련하기 위해.
• 기하 Satake 등형성과 Soergel의 Endomorphismensatz을 Iwahori-여기어진 펄스브 sheaf를 사용하여 모듈러 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 아핀 플라그 다양체 $\mathrm{Fl}_G$ 위의 Iwahori-여기어진 펄스브 sheaf의 범주 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$를, 양의 차원 지지 집합을 갖는 단순 대상들을 몫으로 취해 Serre 몫 범주로 구성하기 위해.
• 복합의 제로번째 펄스브 코호몰로지에 의해 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ 위에 단일 구조 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$를 정의하기 위해.
• 기하 Satake 등형성을 사용하여 $G^\vee_{\Bbbk}$-모듈을 $\mathrm{Gr}_G$-sheaf와 연결하고, 중심화자 $Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})$가 중심 $Z(G^\vee_{\Bbbk})$를 포함하는 부분군임을 식별하기 위해.
• 기하학적 구조와 표현론적 구조 사이의 핵심 연결 고리를 확립하기 위해, $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V)) \cong \operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})}(V)$라는 대수 동형을 수립하기 위해.
• $\mathscr{O}(\mathcal{N}_{G^\vee_{\Bbb{k}}})$의 좌표환에 $\mathbb{G}_m$-확대 작용에 의해 유도되는 그레딩을 사용하여, $V$가 불가약할 경우 $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$가 국소임을 보이고, 이는 $\mathscr{Z}^{0}(V)$의 불가약성을 암시하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 헤이크 대수에 대한 기하 Langlands 등형성은 양의 특성 계수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 정규 유니포텐트 원소의 중심화자 표현의 범주는 랭랜즈 이중 아핀 플라그 다양체 위의 펄스브 sheaf를 통해 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 제안된 함자에 의해 불리팅 모듈의 이미지의 자기환원 대수의 구조는 모듈이 불가약할 경우 여전히 국소적인가?
• RQ4 중심 $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$의 작용은 중심화자 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 범주 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$의 구조를 사용하여, 모듈러 설정에서 구조적 복합체와 코herent sheaf의 유도 범주 간의 완전한 등형성을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$는 Iwahori-여기어진 펄스브 sheaf의 범주에서 양의 차원 지지 집합을 갖는 대상들을 몫으로 취한 것으로, 복합의 펄스브 코호몰로지에 의해 잘 정의된 단일 구조 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$를 갖는다.
• $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$와 랭랜즈 이중 군에서 정규 유니포텐트 원소의 중심화자 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$의 유한차원 표현의 범주 $\mathrm{Rep}(Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u}))$ 사이에 단일 등형성이 존재한다.
• $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V))$와 $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$ 사이의 대수 동형이 성립하여 기하학적 및 표현론적 구조 사이의 핵심 연결 고리를 확립한다.
• 모든 유한차원 불리팅 $G^\vee_{\Bbb{k}}$-모듈 $V$에 대해, $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$-불변 부분공간의 차원은 제로 무게 공간 $V_0$의 차원과 같으며, 이는 $V^{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})} = V^H$를 암시한다. 여기서 $H$는 $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$를 포함한다.
• $V$가 불가약한 불리팅 $G^\vee_{\Bbb{k}}$-모듈일 경우, $\mathscr{Z}^{0}(V)$는 불가약하다. 이는 $\mathscr{O}(\mathcal{N}_{G^\vee_{\Bbb{k}}})$에 대한 $\mathbb{G}_m$-그레딩 덕분에 $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$가 국소적이기 때문이다.