[논문 리뷰] Modular Invariant Models of Leptons at Level 7

Gui-Jun Ding, Stephen F. King외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

Neutrino Physics Research참고 문헌 53인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 168개의 원소를 가지며 Σ(168)와 동형인 유한 모듈라 군 Γ7 ≅ PSL(2, Z7)에 기반한 최초의 모듈라 불변 리플렛 모델을 제시한다. 이 모델은 수준 7에서 구성되며, 리플렛 질량과 혼합은 Γ7의 기약 표현에 따라 변환하는 모듈라 형식에 의해 발생한다. 무게 2에서 26개의 선형 독립적인 모듈라 형식(삼중항, 칠중항, 두 개의 여덟중항)이 존재하며, 워인버그 연산자 또는 타입-I 시즈모드 메커니즘을 통해 중성미온 질량을 유도한다. 실험 데이터와의 일치는 최소한의 가정과 비타이드 필드 없이 달성된다.

ABSTRACT

We consider for the first time level 7 modular invariant flavour models where the lepton mixing originates from the breaking of modular symmetry and couplings responsible for lepton masses are modular forms. The latter are decomposed into irreducible multiplets of the finite modular group $Γ_7$, which is isomorphic to $PSL(2,Z_{7})$, the projective special linear group of two dimensional matrices over the finite Galois field of seven elements, containing 168 elements, sometimes written as $PSL_2(7)$ or $Σ(168)$. At weight 2, there are 26 linearly independent modular forms, organised into a triplet, a septet and two octets of $Γ_7$. A full list of modular forms up to weight 8 are provided. Assuming the absence of flavons, the simplest modular-invariant models based on $Γ_7$ are constructed, in which neutrinos gain masses via either the Weinberg operator or the type-I seesaw mechanism, and their predictions compared to experiment.

연구 동기 및 목표

• 유한 모듈라 군 Γ7를 기반으로 한 최초의 모듈라 불변 리플렛 모델을 수준 7에서 구축하는 것. 이 군은 PSL(2, Z7)와 동형이며 168개의 원소를 가진다.
• Γ7에 대해 무게 8까지의 모든 모듈라 형식을 완전히 도출하고, 기약 표현에 대한 변환 성질을 규명하는 것.
• 보조 스칼라 필드 없이, 리플렛 질량과 혼합이 오직 모듈라 불변성과 모듈라 형식에 의해 기인하는 필드 없는 모델을 구축하는 것.
• 모델의 예측을 실험적 중성미온 혼합 각도와 질량 분할에 비추어 비교하는 것. 중성미온 질량 생성은 워인버그 연산자 또는 타입-I 시즈모드 메커니즘을 사용한다.

제안 방법

• 논문은 유한 모듈라 군 Γ7 ≅ PSL(2, Z7)을 사용하며, 이는 비아벨 유한군으로서 순서가 168이다.
• SageMath 대수계산 시스템을 사용하여 수준 7에서 무게 8까지의 모든 선형 독립적인 모듈라 형식을 계산하고, 기약 표현으로 분류한다. 무게 2에서는 삼중항, 칠중항, 두 개의 여덟중항이 포함된다.
• 효과적 라그랑지안은 모듈라 형식을 결합 상수로 사용하며, 비타이드 필드가 필요 없어 Γ7에 대한 모듈라 불변성이 보장된다.
• 중성미온 질량은 차원-5 워인버그 연산자 또는 타입-I 시즈모드 메커니즘을 통해 생성되며, 후자는 무거운 오른쪽 수동 중성미온을 포함한다.
• 모델의 예측은 중성미온 혼합 각도와 질량 분할에 대한 실험 데이터와 비교된다.
• 모듈라 형식은 대수적 수론과 타우 함수 및 디디킨트 에타 함수 간의 관계를 사용하여 체계적으로 유도되며, 계산 기반 대수학을 통해 제약 조건이 감소된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비타이드 필드를 도입하지 않고도, 유한 모듈라 군 Γ7 ≅ PSL(2, Z7)을 사용하여 수준 7에서 모듈라 불변 리플렛 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ2 수준 7에서 무게 8까지의 모든 모듈라 형식의 완전한 스펙트럼은 무엇이며, Γ7의 기약 표현으로 어떻게 분해되는가?
• RQ3 이러한 모델이 오직 모듈라 불변성과 워인버그 연산자 또는 타입-I 시즈모드 메커니즘만을 사용하여 관측된 중성미온 혼합 패턴과 질량 계층을 재현할 수 있는가?
• RQ4 이러한 모델의 예측은 현재 중성미온 혼합 각도와 질량 분할에 대한 실험 데이터와 정량적으로 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 무게 2에서 Γ7에 대해 26개의 선형 독립적인 모듈라 형식이 존재하며, 이는 삼중항(3), 칠중항(7), 두 개의 여덟중항(8a, 8b)으로 변환되며, 모델 구성의 완전한 기저를 이룬다.
• 무게 8까지의 전체 모듈라 형식 목록이 유도되었으며, 무게 10의 형식들인 Y(10)3a, Y(10)3b, Y(10)3c, Y(10)3̄a, Y(10)3̄b도 포함되어 있으며, 이들은 3 및 3̄ 표현에 따라 변환된다.
• 비타이드 필드 없이 모델이 구성되었으며, 리플렛 질량과 혼합은 오직 Γ7 표현에 따라 변환하는 모듈라 형식에 의해 완전히 기인한다.
• 워인버그 연산자와 타입-I 시즈모드 메커니즘은 모두 실험 데이터의 혼합 각도와 질량 분할과 일치하는 타당한 중성미온 질량 예측을 도출한다.
• 모델은 중성미온 부문에서 트라이바이마티컬 유사 혼합 패턴을 예측하며, 정확한 트라이바이마티컬리티에서의 편차는 모듈라 대칭의 위반에 기인한다.
• 단지 몇 가지 입력 매개변수만으로도 예측 가능한 맛 구조를 성공적으로 실현하였으며, 맛 물리학에서 수준 7의 모듈라 대칭의 실현 가능성과 타당성을 입증한다.