[논문 리뷰] Moduli of theta-characteristics via Nikulin surfaces

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Nikulin 표면—특정 2-나누어지는 8개의 서로소 유리 곡선을 가진 K3 표면—이 $g \leq 7$, $g \neq 6$ 인 $\mathcal{R}_g$ 프림 모듈리 공간에 대해 유르레드(parametrization)를 제공하며, $g = 8$ 인 짝수 스핀 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 가 코다이라 차원을 가진다는 것을 증명한다. 이는 $g \leq 8$ 인 $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 이성질 분류를 완성한다. 결과는 K3 표면과 프림 기하학 사이의 유사성을 확장하며, $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 이성질 유형이 특수한 K3 표면의 존재 여부에 의해 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study moduli spaces of K3 surfaces endowed with a Nikulin involution and their image in the moduli space R_g of Prym curves of genus g. We observe a striking analogy with Mukai's well-known work on ordinary K3 surfaces. Many of Mukai's results have a very precise Prym-Nikulin analogue, for instance: (1) A general Prym curve from R_g is a section of a Nikulin surface if and only if g\leq 7, g eq 6. (2) R_7 has the structure of a Mori fibre space over the corresponding moduli space of polarized Nikulin surfaces. (3) In the case of genus next to maximal (g=6), the Prym-Nikulin locus in R_6 is an extremal divisor; the corresponding space of Nikulin surfaces has a Grassmannian GIT model. (4) The Prym-Nikulin locus in R_g can be characterized by extra syzygies of Prym-canonical curves. We then use these results to study the geometry of the moduli space S_g of even spin curves, with special emphasis on the transition case of S_8 which is a 21-dimensional Calabi-Yau variety.

연구 동기 및 목표

• 곡선과 프림 다양체의 모듈리 공간 맥락에서 K3 표면과 Nikulin 표면 간의 유사성을 확장하기 위해.
• g = 8 인 짝수 스핀 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 코다이라 차원을 결정하여, $g \leq 8$ 인 $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 이성질 분류를 완성하기 위해.
• Nikulin 표면을 통한 통일된 매개변수화를 통해, $g \leq 7$, $g \neq 6$ 인 프림 모듈리 공간 $\mathcal{R}_g$ 가 유르레드임을 보여주기 위해.
• Nikulin K3 표면 위에 놓인 곡선의 계열이 $\mathcal{R}_g$ 에서 K3 표면이 $\mathcal{M}_g$ 에서 수행하는 역할과 유사한 역할을 한다는 것을 확립하기 위해.
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 가 일반 유형 또는 유르레드임을 증명하여, $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 분류에서 마지막으로 남아 있던 케이스를 해결하기 위해.

제안 방법

• 성질이 $g$ 인 극화된 Nikulin 표면의 모듈리 공간 $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ 을 구성하여, $S$ 가 8개의 서로소 유리 곡선의 합 $N = N_1 + \cdots + N_8$ 을 가진 K3 표면이고 $e = \frac{1}{2}N$ 인 삼중항 $(S, e, \mathcal{O}_S(C))$ 를 매개변수화한다.
• $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ 위의 $\mathbb{P}^g$-_bundle $\mathcal{P}_g^\mathfrak{N}$ 을 정의하여, $C \subset S$ 가 $C \cdot N_i = 0$ 를 모두 만족하는 성질을 가진 $g$ 차수의 매끄러운 곡선인 쌍 $(S, e, C)$ 를 매개변수화한다.
• 자연적인 사상 $\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$ 를 정의하여 $(S, e, C)$ 를 $e_C = e|_C$ 인 프림 곡선 $[C, e_C]$ 로 보내고, 그 전성( dominance )을 분석한다.
• K3 표면 위 곡선의 교차 이론에 대한 기하적 제약 조건을 사용하여, $\chi_g$ 가 전성임은 $g \leq 7$ 이고 $g \neq 6$ 인 경우에만 성립함을 증명한다.
• 2차 표면 $Q_0$ 에 대한 이중 쌍대 $f: S \to Q_0$ 를 통해 노드를 가진 스핀 곡선의 붓 $R \subset \overline{\mathcal{S}}_8^+$ 를 구성한다. 분지 분포는 두 직선과 두 원호로 이루어져 있다.
• 변형 이론과 변형 공간 위의 자기동형 작용을 사용하여 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 상의 교차 수를 계산하여 $R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ 이며, 이는 코다이라 차원이 0임을 의미함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 차수 $g$ 에서 $\mathcal{R}_g$ 가 Nikulin 표면을 통한 통일된 매개변수화로 유르레드가 되는가?
• RQ2 성질이 8인 짝수 스핀 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 의 이성질 유형은 무엇인가?
• RQ3 Nikulin K3 표면 위에 존재하는 곡선의 존재는 $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 의 이성질 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 의 코다이라 차원은 무엇이며, $g \leq 7$ 과 $g \geq 9$ 의 경우와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 8-나누어지는 분지 분포를 가진 K3 표면의 이중 쌍대 기하학을 사용하여 $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 상의 효과적 다발과 곡선을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$ 는 $g \leq 7$ 이고 $g \neq 6$ 인 경우에만 전성이며, 이는 일반적인 프림 곡선이 $g \leq 7$, $g \neq 6$ 인 경우 Nikulin 표면 위에 존재함을 의미한다.
• $\mathcal{R}_g$ 는 $g \leq 7$ 에서 유르레드이며, 이는 $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ 위의 $\mathbb{P}^g$-bundle 과 그 구조에서 기인한다. $g \leq 6$ 에서는 $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ 이 유르레드이므로 이에 기반한다.
• $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 는 $g \leq 7$ 에서 유르레드이며, $g \geq 9$ 에서는 일반 유형이다. 이에 따라 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 가 유일하게 미해결 케이스로 남아 있다.
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 의 코다이라 차원은 0이다. 이는 $R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ 인 붓 $R \subset \overline{\mathcal{S}}_8^+$ 를 구성하고, 변형 이론을 통해 교차 수를 계산하여 증명된다.
• $R \cdot \beta_0 = 7$ 이라는 교차 수는 경계 다발 $B_0$ 가 국소적으로 Cartier가 아니며, 국소 자동형사상군 $\mathbb{Z}_2$ 가 변형 공간에 작용하기 때문에 발생한다.
• $R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = \frac{1}{4}R \cdot \lambda - \frac{1}{16}R \cdot \alpha_0 = -1$ 이라는 계산은 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 가 일반 유형이 아니며 코다이라 차원이 0임을 확인한다.