[논문 리뷰] Moduli space actions on the Hochschild Co-Chains of a Frobenius algebra I: Cell Operads

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|2006. 06. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 종수 $g$의 곡선과 각 구멍에 대한 접선 벡터를 가진 $n$개의 구멍을 가진 모듈리 공간에 대해 세포 모델을 구축하며, 이가 유리수 순환 작용소의 구조를 지닌다고 보여준다. 또한 스울리반 현수도를 통해 프로베니우스 대수의 호치시ลด 코호모로지에 대해 dg-PROP 작용을 수립하고, 이는 작용소 상관 함수로 올라가며, 루프 공간 호모로지에 작용을 유도한다. 주요 결과로는 모듈리 공간의 세포적 실현과 현수도에 대한 체인 수준의 PROP 구조가 있다.

ABSTRACT

This is the first of two papers in which we prove that a cell model of the moduli space of curves with marked points and tangent vectors at the marked points acts on the Hochschild co--chains of a Frobenius algebra. We also prove that a there is dg--PROP action of a version of Sullivan Chord diagrams which acts on the normalized Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. These actions lift to operadic correlation functions on the co--cycles. In particular, the PROP action gives an action on the homology of a loop space of a compact simply--connected manifold. In this first part, we set up the topological operads/PROPs and their cell models. The main theorems of this part are that there is a cell model operad for the moduli space of genus $g$ curves with $n$ punctures and a tangent vector at each of these punctures and that there exists a CW complex whose chains are isomorphic to a certain type of Sullivan Chord diagrams and that they form a PROP. Furthermore there exist weak versions of these structures on the topological level which all lie inside an all encompassing cyclic (rational) operad.

연구 동기 및 목표

• 종수 $g$의 곡선과 $n$개의 구멍, 각 구멍에 대한 접선 벡터를 가진 모듈리 공간 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$에 대한 세포 모델을 정의한다.
• 이 모듈리 공간과 그 세포 모델에 대해 유리수 순환 작용소의 구조를 수립한다.
• 스울리반 현수도의 CW 복합체로 구성된 dg-PROP를 구축하며, 이는 세포 체인과 동형이 되는 모듈리 공간의 세포 체인과 이sov를 이룬다.
• 이 dg-PROP가 프로베니우스 대수의 호치시ลด 코호모로지에 작용하며, 작용소 상관 함수로 올라간다.
• 이 작용이 단순 연결된 컴act 다양체의 자유 루프 공간 호모로지에 대해 호모로지적 작용으로 내림내림됨을 보인다.

제안 방법

• 입력 경계 각각에 대해 표준 단체를 사용하여 가중치가 부여된 현 그래프로 인덱싱된 세포를 가진 CW 복합체 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$를 구성한다.
• 현의 가중치를 국소적으로 스케일링하여 각 입력 경계의 총 가중치를 유지하는 방식으로 이중 작용소의 합성을 정의하며, 접합 연산과의 호환성을 확보한다.
• 결과로 얻어진 구조가 호모토피-PROP임을 증명하고, 이는 세포 체인에 대해 엄밀한 PROP으로 내림내림됨을 보인다.
• 세포 체인 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$와 특정 유형의 스울리반 현수도 사이의 동형을 수립하며, 이는 dg-PROP를 형성한다.
• 호모토피 동치를 사용하여 이 CW 복합체의 호모로지가 모듈리 공간의 유리수 코homology를 실현함을 보인다.
• 세포 체인의 PROP 구조가 모듈리 공간의 군중 세포 체인과 일치함을 보이며, 위상적 PROP에 대한 체인 모델을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 $g$의 곡선과 $n$개의 구멍, 각 구멍에 대한 접선 벡터를 가진 모듈리 공간 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$이 위상 수준에서 유리수 순환 작용소의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 이 모듈리 공간에 대해 그 코호모로지를 실현하고 호치시ลด 코호모로지에 대해 dg-작용소 작용을 지닌 세포 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ3 특정 유형의 스울리반 현수도와 동형인 세포 체인 복합체에 대해 dg-PROP 구조가 존재하는가, 그리고 이는 프로베니우스 대수의 호치시ลด 코호모로지에 작용하는가?
• RQ4 이러한 체인에 대한 대수적 구조는 단순 연결된 컴팩트 다양체의 자유 루프 공간 호모로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 미분 체인 대수에 순환 트레이스가 있는 텐서 대수의 코사이클에 대해 작용소 상관 함수를 정의할 수 있으며, 일관된 작용을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$에 대해 세포 모델이 CW 복합체 $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$로 구성되며, 세포는 현 그래프로 인덱싱된다.
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$는 호모토피-PROP를 지니며, 이는 세포 체인에 대해 엄밀한 PROP으로 내림내림된다.
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$의 세포 체인은 특정 유형의 스울리반 현수도와 동형인 dg-PROP를 형성한다.
• 이 dg-PROP는 프로베니우스 대수의 호치시ลด 코호모로지에 작용하며, 이는 호모로지로 내림내림되는 dg-작용을 유도한다.
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$의 호모로지는 모듈리 공간의 유리수 코호모로지와 동형이며, 이는 체인 모델이 유리수 세포적 실현임을 확인한다.
• 프로베니우스 대수의 호치시ลด 코호호모로지에 대한 작용은 순환 코호모로지 식별 아래 콘스의 $B$-연산자를 통해 BV 연산자와 대응된다.