[논문 리뷰] Moduli spaces of critical Riemannian metrics with L^{n/2} norm curvature bounds

Xiuxiong Chen, Brian Weber|ArXiv.org|2007. 05. 30.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 다성분에서의 극값 켈러 계량의 모듈리 공간에 대해 $L^{n/2}$-노름 곡률 유계, 일관된 소볼레프 상수 유계, 체적/지름 제약 조건 하에서 약한 컴팩트성을 확립한다. 이는 극값 벡터장과 곡률에 대한 연관된 타원형 미분방정식계에 대한 새로운 $\epsilon$-정규성 추론을 통해, 유한한 특이점을 가진 궤도형을 포함하여 이러한 모듈리 공간을 컴팩티피케이션할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the moduli space of the extremal Kähler metrics on compact manifolds. We show that under the conditions of two-sided total volume bounds, $L^{n\over2}$-norm bounds on $\Riem$, and Sobolev constant bounds, this Moduli space can be compactified by including (reduced) orbifolds with finitely many singularities. Most of our results go through for certain other classes of critical Riemannian metrics.

연구 동기 및 목표

• 컴act한 다성분에서의 극값 켈러 계량의 모듈리 공간에 대해 리만 곡률의 $L^{n/2}$-노름, 총 체적, 지름, 소볼레프 상수에 대한 일관된 유계 조건 하에서 약한 컴팩트성을 확립한다.
• 아인슈타인 및 일정 스칼라 곡률 켈러 계량에 대한 컴팩트성 결과를 더 넓은 범주인 극값 켈러 계량으로 확장한다.
• 제시된 조건 하에서 (단순화된) 궤도형이 유한한 수의 특이점을 가지며 포함된 상태에서 모듈리 공간이 컴팩티피케이션될 수 있음을 증명한다.
• 극값 계량 조건에서 유도되는 연관된 타원형 미분방정식계에 대한 새로운 $\epsilon$-정규성 이론을 개발한다.
• 곡률과 소볼레프 유계 조건 하에서 스칼라 곡률의 $W^{2,2}$-유계와 극값 벡터장 $X$ 의 $L^2$-유계가 사전에 제어됨을 보여준다.

제안 방법

• 6계열 극값 계량 방정식을 세 개의 상호연관된 2계 타원형 편미분방정식으로 분해한다: $\triangle \mathop{\rm Rm} = \nabla^2 \mathop{\rm Ric} + \mathop{\rm Rm} * \mathop{\rm Rm}$, $\triangle \mathop{\rm Ric} = \mathop{\rm Ric} * \mathop{\rm Rm} + \nabla X$, 및 $\triangle X = \mathop{\rm Rm} * X$.
• 점별 곡률과 $X$ 의 도함수의 감쇠를 작은 $L^{n/2}$-노름을 가진 구 내 곡률에 따라 제어하기 위해 $\epsilon$-정규성 정리 사용.
• 횔더 부등식과 소볼레프 포함을 이용한 인덕션 기반의 고차수 $L^k$-노름 $\nabla^p \mathop{\rm Rm}$, $\nabla^p \mathop{\rm Ric}$, $\nabla^p X$ 에 대한 유도.
• 기술적 보조정리를 활용하여 소볼레프 상수 유계를 이용해 저차수 노름과 곡률 항을 통해 고차수 도함수를 유계화.
• 연관된 방정식계의 구조를 활용하여 $L^{n/2}$-유계 곡률과 소볼레프 제어 조건 하에서 $X$ 와 $\nabla X$ 의 $L^2$-유계를 도출.
• 블로우업 분석을 적용하여 곡률 특이점이 주어진 유계 조건 하에서 고립되어 있고 궤도형과 유사함을 보여주며, 이는 컴팩티피케이션으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $\mathcal{M}(n, C_S, \Lambda, \nu, \delta)$ 가 $L^{n/2}$-노름 곡률 유계, 체적 유계, 지름 유계, 소볼레프 상수 유계 조건 하에서 컴팩티피케이션될 수 있는가?
• RQ2 극값 켈러 계량의 수열이 위의 곡률 및 기하학적 유계 조건을 만족할 때, 그 극한 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 곡률 $\mathop{\rm Rm}$, $\mathop{\rm Ric}$, $X$ 에 대한 연관된 타원형 미분방정식계는 곡률 및 그 도함수의 정규성과 감쇠를 어떻게 제어하는가?
• RQ4 $L^{n/2}$-노름 곡률 유계와 소볼레프 상수 유계가 곡률 및 극값 벡터장의 고차수 $L^k$-정규성에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ5 어떤 조건에서 극한 공간 내 곡률 특이점이 고립되어 있고 궤도형과 유사하게 나타나는가?

주요 결과

• 제약 조건 $\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2} \leq \Lambda$, 체적 $\mathop{\rm Vol} M \geq \nu$, 지름 $\leq \delta$, 소볼레프 상수 $C_g \leq C_S$ 를 만족하는 임의의 임계 계량의 모듈리 공간 $\mathcal{M}(n, C_S, \Lambda, \nu, \delta)$ 는 약한 컴팩트성을 가진다.
• 제시된 조건 하에서 $\mathcal{M}$ 의 임의의 수열의 약한 극한은 유한한 수의 특이점을 가진 (단순화된) 궤도형이다.
• $\epsilon$-정규성 정리가 성립한다: 만약 $\int_{B(o,r)} |\mathop{\rm Rm}|^{n/2} \leq \epsilon_0$ 이면, $a > n/2$ 에 대해 $\|\nabla^q X\|_{L^a(B(o,r/2))} \leq C r^{-q-3+n/a} \|R\|_{L^{n/2}(B(o,r))}^{2/n}$ 이다. 상수는 $C_S$, $a$, $q$, $n$ 에 따라 달라진다.
• 횔더 부등식과 소볼레프 포함을 이용한 인덕션 기반의 고차수 $L^k$-노름 $\nabla^p \mathop{\rm Rm}$, $\nabla^p \mathop{\rm Ric}$, $\nabla^p X$ 는 저차수 노름과 곡률에 의해 제어된다.
• $X$ 와 $\nabla X$ 의 $L^2$-노름은 $\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2}$ 와 소볼레프 상수에 의해 사전에 제어되며, 이는 약한 컴팩트성의 기초가 된다.
• 극한 공간 내 곡률 특이점은 고립되어 있고 궤도형과 유사하다. 블로우업 분석은 특이점이 곡률 및 소볼레프 유계 조건 하에서 고립되고 유한함을 보여주며, 이는 컴팩티피케이션을 이끈다.