[논문 리뷰] Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 켈러 다양체의 심플렉틱 유형에서 일반화된 에인슈타인-헤르미트 접속을 모멘트 맵 프레임워크를 통해 도입하며, 그 모듈리 공간이 켈러 몫임을 보여준다. 변형 복합체는 에르미트-에인슈타인 일반화된 접속의 경우 타원적이며, 이는 모듈리 공간의 매끄러운 부분이 유한차원 켈러 다양체임을 보장한다. 곡률은 $d$-닫힘된 순수 스핀어 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$를 통해 정의되며, 켈러–리치 솔리톤과 코-헤르미트 번들 역시 특수한 경우로 나타난다.

ABSTRACT

From a view point of the moment map, we shall introduce the notion of Einstein-Hermitian generalized connections over a generalized Kähler manifold of symplectic type. We show that moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections arise as the Kähler quotients. The deformation complex of Einstein-Hermitian generalized connections is an elliptic complex and it turns out that the smooth part of the moduli space is a finite dimensional Kähler manifold. The canonical line bundle over a generalized Kähler manifold of symplectic type has the canonical generalized connection and its curvature coincides with "the scalar curvature as the moment map" which is defined in the previous paper [Goto_2016]. Kähler-Ricci solitons provide examples of Einstein-Hermitian generalized connections and Einstein Hermitian co-Higgs bundles are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 켈러 기하학에서의 모멘트 맵 프레임워크를 일반화된 켈러 기하학으로 확장하기 위해, 에인슈타인-헤르미트 일반화된 접속을 정의한다.
• 유니타리 게이지 군 작용을 이용하여 이러한 접속의 모듈리 공간을 켈러 몫으로 구성한다.
• 모멘트 맵 해석을 가능하게 하기 위해, $d$-닫힘되고 비퇴화적이며 순수한 스핀어 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$를 통해 일반화된 접속의 곡률을 정의한다.
• 에인슈타인-헤르미트 일반화된 접속의 변형 복합체가 타원적임을 보여주며, 이는 모듈리 공간이 유한차원 켈러 다양체임을 의미한다.
• 켈러–리치 솔리톤과 에인슈타인–헤르미트 코-헤르미트 번들은 이 프레임워크의 특수한 경우임을 규명한다.

제안 방법

• 벡터 번들의 위상에서 미분 연산자 $\mathcal{D}^\mathcal{A} = D^A + V$로 일반화된 접속 $\mathcal{D}^\mathcal{A}$를 정의하며, 여기서 $D^A$는 일반적인 접속이고 $V$는 $\text{End}(E)$-계량의 벡터장이다.
• 스핀 표현을 통해 $\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$가 $d$-닫힘된 순수 스핀어 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$에 작용함으로써 곡률 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi)$를 정의한다. 이는 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$로 주어진다.
• 일반화된 헤르미트 접속의 애핀 공간 $\widetilde{\mathcal{GM}}(E,h)$에 자연스러운 켈러 구조를 부여하며, 심플렉틱 형식은 $\omega_{\widetilde{\mathcal{GM}}}(\dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2) = -\int_M \text{tr} \langle \mathcal{J}_\psi \dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2 \rangle_{T \oplus T^*} \text{vol}_M$로 주어진다.
• 유니타리 게이지 군 작용에 대한 모멘트 맵 $\mu: \widetilde{\mathcal{GM}}(E,h) \to \mathfrak{u}(E)^*$를 정의하며, 에인슈타인–헤르미트 조건이 모멘트 맵의 영점임을 규명한다.
• $b$-필드 변환 $\text{Ad}_{e^{-b}}$를 사용하여 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$에서의 일반화된 접속을 $e^{\sqrt{-1}\omega}$에서의 접속으로 연결하며, $b$-필드 이동에 대해 에인슈타인–헤르미트 조건이 불변임을 보여준다.
• 에인슈타인–헤르미트 조건을 $\sqrt{-1}\Lambda_\omega F_A + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$로 유도하고, 이를 $\sqrt{-1}\Lambda_\omega(F_A - d^A(\text{ad}_b V) + \frac{1}{2}[\text{ad}_b V, \text{ad}_b V]) + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 켈러 기하학에서의 모멘트 맵 프레임워크를 일반화된 켈러 다양체의 심플렉틱 유형으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 모멘트 맵 해석을 지원하는 일반화된 접속의 올바른 곡률 정의는 무엇인가?
• RQ3 에인슈타인–헤르미트 일반화된 접속의 모듈리 공간은 어떻게 켈러 몫으로 나타나는가?
• RQ4 $b$-필드는 일반화된 켈러 구조 간의 에인슈타인–헤르미트 조건을 어떻게 변환하는가?
• RQ5 켈러–리치 솔리톤과 에인슈타인–헤르미트 코-헤르미트 번들은 일반화된 접속 프레임워크에서 어떤 조건에서 나타나는가?

주요 결과

• 에인슈타인–헤르미트 일반화된 접속의 모듈리 공간이 켈러 몫임을 보여주며, 일반화된 헤르미트 접속 공간의 켈러 구조를 이어받는다.
• 에인슈타인–헤르미트 일반화된 접속의 변형 복합체는 타원적이며, 이는 모듈리 공간의 매끄러운 부분이 유한차원 켈러 다양체임을 의미한다.
• 일반화된 접속의 곡률은 $\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$의 스핀 표현이 $d$-닫힘된 순수 스핀어 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$에 작용함으로써 정의되며, $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$로 주어진다.
• canonical line bundle 위의 표준 일반화된 접속의 곡률은 스칼라 곡률로서 모멘트 맵으로서 등장하며, [Go5]의 결과를 일반화한다.
• 일반적인 켈러 다양체 위의 켈러–리치 솔리톤은 $\psi = e^{\sqrt{-1}\omega}$일 때 에인슈타인–헤르미트 일반화된 접속의 예로 나타남을 보였다.
• 만일 $b = \omega$이면, 일반화된 에인슈타인–헤르미트 조건은 $\text{End}(E)$-계량의 켈러–리치 솔리톤 방정식으로 축소되며, 기하학적 흐름과 직접적인 연결을 수립한다.