[논문 리뷰] Mollification of $\mathcal{D}$-solutions to Fully Nonlinear PDE Systems

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 22.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 측정 가능하고 미분 가능하지 않은 맵을 해로 허용하는 완전 비선형 PDE 시스템의 일반화된 해인 $\pi$-해를 위한 새로운 미세조정 기법을 제안한다. 앙드레프-콤팩트리피케이션된 잔여 공간 위의 영 양 측도를 활용하여, 원래 해로의 약한* 수렴을 보장하는 매끄러운 근사값을 구성한다. 이는 전통적인 컨볼루션 및 sup/inf 컨볼루션 기법을 이원성 없는, 확률론적 프레임워크로 확장한다.

ABSTRACT

In a recent paper (arXiv:1501.06164) the author has introduced a new theory of generalised solutions which applies to fully nonlinear PDE systems of any order and allows the interpretation of merely measurable maps as solutions. This approach is duality-free and builds on the probabilistic representation of limits of difference quotients via Young measures over certain compactifications of the "state space". Herein we establish a systematic regularisation scheme of this notion of solution which, by analogy, is the counterpart of the usual mollification by convolution of weak solutions and of the mollification by sup/inf convolutions of viscosity solutions.

연구 동기 및 목표

• 측정 가능하고 미분 가능하지 않은 맵을 허용하는 완전 비선형 PDE 시스템의 일반화된 해인 $\pi$-해를 위한 체계적인 정규화 기법을 개발한다.
• 이전에 약한 해나 점성 해에 사용된 전통적인 미세조정 기법을, 영 양 측도를 통한 확률론적 표현 기반의 이원성 없는 프레임워크로 확장한다.
• 영 양 측도의 약한* 수렴을 통해 미세조정된 해가 원래 $\pi$-해로 수렴함을 보장하여 원래 해의 구조와 일致함을 확보한다.
• 타원성 또는 쌍곡성 조건을 요구하지 않고도 불연속 계수를 가진 완전 비선형 PDE 시스템을 연구하기 위한 강력한 분석 도구를 제공한다.
• 측도론적 수렴을 통한 차분 몫의 수렴을 바탕으로 한 통합된 미세조정 메커니즘을 도입하여 약한 해 이론과 점성 해 이론 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• 측정 가능 맵 $u$의 $p$번째 순서 잔여 공간 $D^{[p]}u$를 아르클라프 콤팩트리피케이션 $\overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s$에 값이 있는 영 양 측도 $\mathcal{D}^{[p]}u$로 표현한다.
• 영 양 측도 공간의 약한* 콤팩트리시티를 활용하여, 차분 몫 $D^{1,h}u$의 부분수열을 추출하여 $\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn})$ 내에서 한계 $\mathcal{D}u$로 수렴하도록 한다.
• 기본 미세조정자 $\rho_\varepsilon$와 후보 해 $u$를 컨볼루션하여 매끄러운 근사값 $u_\varepsilon$를 생성하는 미세조정 절차를 정의한다.
• 차분 몫의 극한을 영 양 측도를 통해 확률론적으로 표현하여, 미세조정된 잔여 공간 $D^{[p]}u_\varepsilon$가 원래 $\mathcal{D}^{[p]}u$로 약한* 수렴함을 보장한다.
• 잔여항 $F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$의 성장 제어를 위해 $\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$를 사용하는 절단 기법을 적용하여 국소적 수렴을 측도 기반으로 확립한다.
• 논문 [FG]의 보조정리 3.36과 보조정리 16에 의존하여, $F$를 포함하는 적분에서 극한을 취함으로써, 미세조정된 시스템이 원래 $\mathcal{D}$-해로 수렴함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 가능하고 미분 가능하지 않은 해를 허용하는 완전 비선형 PDE 시스템의 일반화된 해를 위한 체계적인 미세조정 기법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존의 컨볼루션 기반 미세조정 기법을, 측정 가능하고 비미분 가능한 해를 위한 영 양 측도 기반의 이원성 없는 프레임워크로 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 영 양 측도 표현에 기반하여, 미세조정된 해의 수열이 원래 $\mathcal{D}$-해로 약한* 수렴하는가?
• RQ4 어떤 조건이 $\mathcal{D}$-해에 대해 $\nu \to \infty$일 때 잔여항 $F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$가 측도 기반으로 0으로 수렴함을 보장하는가?
• RQ5 해의 국소 적분 가능성 또는 고전적 미분 가능성 조건을 가정하지 않고도, 미세조정된 해의 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 미세조정된 수열 $u_\varepsilon$는 관련된 영 양 측도 $\mathcal{D}^{[p]}u_\varepsilon$가 $\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s)$ 내에서 원래 $\mathcal{D}^{[p]}u$로 약한* 수렴함으로써 원래 측정 가능 해 $u$로 수렴한다.
• 잔여항 $F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$는 $\Omega$의 컴acts부분집합에서 측도 기반으로 0으로 수렴하므로, 미세조정된 해는 극한에서 PDE 시스템을 근사적으로 만족한다.
• 잔여 잔여 공간의 수렴은 $\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$를 사용한 절단 기법을 통해 확립되며, 이는 등적분 가능성과 극한 취득을 가능하게 한다.
• 거의 모든 $x \in \Omega \setminus E$ 에서 $\mathcal{D}^{[p]}u(x)$의 지지부위는 $\mathbb{R}^{Nn} \times \cdots \times \mathbb{R}^{Nn^p}_s$에 포함되어 있어 확률 측도가 유한 공간에서 잘 정의되어 무한대에서의 특이성을 피한다.
• 핵심 부등식 $\varepsilon \cdot |(\Omega' \setminus E) \cap \{|f^\nu| > \varepsilon\}| \leq \int_{\Omega' \setminus E} \min\{|F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)|, 1\} \, dx$ 는 $f^\nu \to 0$ 이며, 따라서 부분수열에 대해 거의 어디서나 수렴함을 이끌어낸다.
• 증명은 거의 어디서나 $\sup_{\underline{\mathbf{X}} \in \text{supp}_*(\mathcal{D}^{[p]}u(x))} |F(x, u(x), \underline{\mathbf{X}})| = 0$ 이라는 사실에 의존하며, 이는 영 양 측도의 본질적 지지부위에서 잔여항이 식별적으로 0이 됨을 보장한다.