[논문 리뷰] Monadic Second Order Logic with Measure and Category Quantifiers

Matteo Mio, Michał Skrzypczak외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 15.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한한 문자열과 트리 위에서 단항 이阶 논리(MSO)의 확장을 연구하며, '거의 모든' 부분집합에 대한 이阶 양화자를 Baire 체계(∀^*)와 Lebesgue 측도(∀^{=1})를 통해 해석한다. MSO에 체계 양화자(∀^*)를 추가한 논리는 결정 가능하다(S1S + ∀^* = S1S)는 것을 증명하지만, 측도 양화자(∀^{=1})를 추가한 논리는 결정 불가능하다(S1S + ∀^{=1}는 결정 불가능하다). 또한 이는 S1S와 S2S에서 확률적 옴니어테이터와 정의 가능성과의 연결 고리를 설정한다.

ABSTRACT

We investigate the extension of Monadic Second Order logic, interpreted over infinite words and trees, with generalized "for almost all" quantifiers interpreted using the notions of Baire category and Lebesgue measure.

연구 동기 및 목표

• Baire 체계와 Lebesgue 측도를 통해 '거의 모든' 부분집합에 대한 이阶 양화자를 해석한 단항 이阶 논리(MSO)의 표현력과 논리적 성질을 연구하는 것.
• 해당 논리가 (N,<) 및 완전한 이진 트리 구조 위에서 결정 가능한지 여부를 규명하는 것.
• MSO에 측도/체계 양화자를 추가한 논리와 옴니어테이터 이론적 해석, 특히 확률적 트리 옴니어테이터와의 관계를 명확히 하는 것.
• 이러한 양화자를 포함한 S2S의 확장에서 정의 가능성과 복잡도에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 논문은 Cantor 공간 2^ω 위에서 양화자의 행동을 분석하기 위해 옴니어테이터 이론적 기법과 게임 이론적 추론, 특히 Banach–Mazur 게임을 사용한다.
• S1S + U의 결정 불가능성을 증명한 Bojańczyk의 논리에 대한 연결 고리를 활용하여 S1S + ∀^{=1}의 결정 불가능성을 입증하기 위해 확률적 옴니어테이터 이론의 결과를 적용한다.
• 체계 양화자에 대해 S1S + ∀^*에 대한 효과적인 양화자 제거 절차를 제시하여 순수한 S1S와의 동치성을 보여준다.
• 경로 π를 범위로 하는 새로운 논리 S2S + ∀^{=1}_π를 도입하고, 옴니어테이터 기반의 해석을 통해 S2S + U^{=1}과의 동치성을 증명한다.
• 확률적 트리 옴니어테이터를 통한 언어 정의 가능성과 S2S + ∀^{=1}_π로 정의 가능한 언어를 비교 분석한다.
• 확률적 옴니어테이터의 한계를 밝혀내기 위해 S2S + ∀^{=1}_π로 정의 가능한 정규 언어가 아닌 언어가 존재함을 보여주며 표현력의 엄밀한 증가를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전 연구에서 잘못된 증명이 있었음에도 불구하고, S2S + ∀^*의 이론은 결정 가능한가?
• RQ2 S2S + ∀^{=1}_π는 프로젝티브 계층의 Δ¹₂ 클래스에만 집합을 정의하는가?
• RQ3 모든 S2S + ∀^{=1}_π로 정의 가능한 언어는 확률적 트리 옴니어테이터에 의해 포괄될 수 있는가?
• RQ4 S2S + ∀^{=1}의 이론은 결정 가능한가?
• RQ5 S2S-정의 가능한 집합의 측도를 계산하는 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• S1S + ∀^*는 결정 가능하며, ∀^* 양화자는 효과적으로 제거 가능하므로 순수한 S1S와 동치이다.
• S1S + ∀^{=1}는 결정 불가능하다. 이는 Bojańczyk의 결정 불가능한 논리 S1S + U의 해석을 통해 증명된다.
• S2S + ∀^{=1}의 이론은 결정 불가능하다. S1S에서 S2S로의 번역을 통해 S1S + ∀^{=1}을 해석하기 때문이다.
• S2S + ∀^{=1}_π는 S2S + U^{=1}과 동치이며, 경로 기반 측도 양화자와 무한대 양화자 간의 연결 고리를 설정한다.
• 확률적 트리 옴니어테이터로 정의할 수 없는 S2S + ∀^{=1}_π로 정의 가능한 언어가 존재하며, 이는 표현력의 엄밀한 증가를 보여준다.
• S2S + ∀^{=1}_π로 정의 가능한 집합의 클래스는 반드시 Δ¹₂ 클래스에 포함되지는 않지만, 알려진 모든 예시는 그러하다.