[논문 리뷰] Monadic Second-Order Logic with Path-Measure Quantifier is Undecidable

Raphaël Berthon, Emmanuel Filiot외 6명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

semigroups and automata theory참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한 이진 트리 위에서 단항 제2차 논리에 경로 측도 쿠안티피어를 추가한 논리의 결정불가성을 증명한다. 이 쿠안티피어는 르베그 측도가 1인 경로 집합에서 성립하는 성질을 표현한다. 증명은 질적 전지수 파리티 트리 오ート마타의 공집합 문제의 결정불가성을, 새로운 확률적 오ート마타 기법을 활용한 인코딩을 통해 이 논리로의 환원을 통해 수행된다.

ABSTRACT

We prove that the theory of Monadic Second-Order logic (MSO) of the infinite binary tree extended with qualitative path-measure quantifier is undecidable. This quantifier says that the set of infinite paths in the tree that satisfies some formula has Lebesgue-measure one. To do this we prove that the emptiness problem of qualitative universal parity tree automata is undecidable. Qualitative means that a run of a tree automaton is accepting if the set of paths in the run that satisfy the acceptance condition has Lebesgue-measure one.

연구 동기 및 목표

• 무한 이진 트리 위에서 단항 제2차 논리에 경로 측도 쿠안티피어를 추가한 논리의 결정불가성을 확립하기.
• 이전 연구에서 미해결로 남아 있던 MSO+∀¹_path의 결정가능성 문제를 해결하기.
• 질적 전지수 파리티 트리 오차마타의 공집합 문제의 결정불가성을 입증함으로써 핵심 기술적 기여를 제공하기.
• 기존의 독립된 증명들과는 다를 만한, 확률적 오차마타 기반의 새로운 증명 기법을 제공하기.
• MSO+∀¹_path가 MSO보다 엄밀히 더 표현력이 강력하지만 여전히 결정불가능하다는 것을 보여주며, 핵심 결정가능성 질문을 마무리하기.

제안 방법

• 파리티 트리 오차마타의 질적 전지수 언어를 포괄하는 MSO+∀¹_path 공식을 구성하기.
• 경로 측도 쿠안티피어 ∀¹_path를 사용하여 거의 모든 경로에서 수용되는 런 조건을 인코딩하기. 이 쿠안티피어는 경로 집합의 르베그 측도가 1임을 주장한다.
• 질적 전지수 파리티 트리 오차마타의 공집합 문제에서 MSO+∀¹_path의 만족 가능성 문제로의 환원을 활용하기.
• 측도 이론적 수용 조건을 논리에서 시뮬레이션하고 추론하기 위해 확률적 오차마타 기법을 활용하기.
• 트리 오차마타의 런과 논리 공식 사이의 대응 관계를 설정하기. 여기서 수용 조건은 경로에 대한 MSO 공식으로 표현된다.
• MSO+∀¹_path 문장이 타당함과 동시에 해당 오차마타의 질적 전지수 언어가 공집합임이 동치임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 이진 트리 위에서 단항 제2차 논리에 경로 측도 쿠안티피어를 추가한 논리는 결정가능한가?
• RQ2 표준 MSO와 비교할 때 MSO+∀¹_path의 표현력과 결정가능성 상태는 어떠한가?
• RQ3 질적 전지수 파리티 트리 오차마타의 공집합 문제는 논리적 결정 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ4 확률적 오차마타 기법이 형식 논리 분야의 결정불가성 결과에 대해 새로운 증명 기법을 제공하는가?
• RQ5 MSO와 MSO+∀¹_path 사이에 표현력의 엄밀한 증가가 존재하는가? 만약 그렇다면, 이는 결정불가능성의 비용을 수반하는가?

주요 결과

• 무한 이진 트리 위에서의 MSO+∀¹_path 이론은 결정불가능하며, 이는 형식 논리학 분야에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.
• 질적 전지수 파리티 트리 오차마타의 공집합 문제의 결정불가성은 핵심 기술적 결과로 기능한다.
• 르베그 측도가 1인 경로 집합에서 성립한다는 것을 주장하는 경로 측도 쿠안티피어 ∀¹_path는 직관적인 거의 확실성 의미론에도 불구하고 결정불가능성을 초래한다.
• 확률적 오차마타 기반의 증명 기법은 이 결과에 대해 이전의 증명들과는 다를 만한 독립적 접근을 제공한다.
• MSO+∀¹_path는 경로 집합의 측도 1에 관한 성질를 표현할 수 있기 때문에, 표준 MSO보다 엄밀히 더 표현력이 강력하다.
• 쿼언티피어가 경로 형성 집합으로 제한되어 있어도 결정불가능성 결과는 그대로 유지되며, 이는 결정불가능성의 강건성을 보여준다.