[논문 리뷰] Monoidal categories enriched in braided monoidal categories

Scott Morrison, David Penneys|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 빈티지 모나이드 카테고리에 대한 브레이드 모나이드 카테고리로의 확장된 모나이드 카테고리 이론을 제안하며, 고전적 비틀림 해제화의 일반화를 다룬다. 강한 함수자기에서의 완비성 외에도 비완비적 확장이 존재함을 보여주기 위해, 강한 단위 함수자기와 가역성 조건을 갖춘 강한 V-모나이드 카테고리와 빈티지 오플락스 모나이드 함수자기 FZ: V → Z(T) 사이의 일대일 대응을 수립한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of a monoidal category enriched in a braided monoidal category $\mathcal V$. We set up the basic theory, and prove a classification result in terms of braided oplax monoidal functors to the Drinfeld center of some monoidal category $\mathcal T$. Even the basic theory is interesting; it shares many characteristics with the theory of monoidal categories enriched in a symmetric monoidal category, but lacks some features. Of particular note, there is no cartesian product of braided-enriched categories, and the natural transformations do not form a 2-category, but rather satisfy a braided interchange relation. Strikingly, our classification is slightly more general than what one might have anticipated in terms of strong monoidal functors $\mathcal V o Z(\mathcal T)$. We would like to understand this further; in a future paper we show that the functor is strong if and only if the enriched category is `complete' in a certain sense. Nevertheless it remains to understand what non-complete enriched categories may look like. One should think of our construction as a generalization of de-equivariantization, which takes a strong monoidal functor $\mathsf{Rep}(G) o Z(\mathcal T)$ for some finite group $G$ and a monoidal category $\mathcal T$, and produces a new monoidal category $\mathcal T // G$. In our setting, given any braided oplax monoidal functor $\mathcal V o Z(\mathcal T)$, for any braided $\mathcal V$, we produce $\mathcal T // \mathcal V$: this is not usually an `honest' monoidal category, but is instead $\mathcal V$-enriched. If $\mathcal V$ has a braided lax monoidal functor to $\mathsf{Vec}$, we can use this to reduce the enrichment to $\mathsf{Vec}$, and this recovers de-equivariantization as a special case.

연구 동기 및 목표

• 브레이드 모나이드 카테고리에서의 모나이드 카테고리 이론을 체계화하여, 대칭 또는 브레이드 모나이드 카테고리에서의 고전적 이론을 일반화한다.
• 브레이드 이론에서의 카르테시안 곱과 2-카테고리적 구조의 부재를 다루며, 대신 브레이드 교환 관계를 만족함을 보인다.
• 강한 함수자기 외의 경우에도 가능한 한, 임의의 브레이드 오플락스 모나이드 함수자기 V → Z(T)에 대해 T//V 를 구성함으로써 비틀림 해제화를 일반화한다.
• 완비성의 역할을 명확히 하여, 강한 함수자기와 완비적 확장된 카테고리가 정확히 일치함을 보인다.
• 드린펠트 중심을 이용한 분류 프레임워크를 제공함으로써, 텐서 카테고리 및 양자장 이론에서의 새로운 구성법을 가능하게 한다.

제안 방법

• 스트릭트 V-모나이드 카테고리의 개념을 도입하며, 이는 스트링 다이어그램을 통해 표현된 브레이드 교환 관계를 만족하는 복합과 텐서 곱의 조건을 포함한다.
• V-모나이드 함수자를 정의하고, 각 성분에 대해 별개의 조건을 부여함으로써 자연성을 확립하며, 이는 확장 카테고리 V 내의 교환 관계와 결합법칙에 기반한다.
• 강한 모나이드 카테고리 T의 드린펠트 중심 Z(T)를 브레이드 오플락스 모나이드 함수자기 FZ: V → Z(T)의 대상으로 삼으며, F = FZ ◦ R 가 오른쪽 수반을 갖는다.
• 드린펠트 중심 내의 수반과 메이트를 활용하여 복합 함수의 메이트를 유도하며, 프로푸시우스 수반법칙과 지그재그 관계를 적용한다.
• 정리 1.1의 대응관계가 일대일임을 증명하기 위해, 역으로의 구성법을 수립한다: V-모나이드 카테고리 C 에서 V(1 → C(a→b)) 를 통해 CV 를 추출하고, 함수자기 FZ 에서는 보편 성질을 통해 C 를 구성한다.
• 스트링 다이어그램 계산법과 코her렌스 정리를 활용하여 브레이드 교환 및 자연성 조건을 검증함으로써, 확장된 모나이드 구조의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모나이드 카테고리가 대칭 카테고리가 아닌 브레이드 모나이드 카테고리에서 자연스럽게 확장될 수 있으며, 어떤 구조적 특징이 나타나는가?
• RQ2 V 가 브레이드이지만 대칭이 아닌 경우, 드린펠트 중심이 V-모나이드 카테고리 분류에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 왜 V-모나이드 카테고리의 자연 변환은 일반적인 2-카테고리적 교환 관계가 아니라 브레이드 교환 관계를 만족하는가?
• RQ4 완비성은 V-확장 카테고리에서 어떤 의미를 가지며, 함수자기 FZ: V → Z(T) 의 강도와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비틀림 해제화는 강한 모나이드 함수자기 외에도 일반화될 수 있으며, 오플락스 함수자기로부터 어떤 새로운 종류의 모나이드 카테고리가 유도되는가?

주요 결과

• 강한 단위 함수자기와 가역성 조건을 갖춘 강한 V-모나이드 카테고리와 브레이드 오플락스 모나이드 함수자기 FZ: V → Z(T) 사이의 일대일 대응이 수립된다. 여기서 F = FZ ◦ R 는 오른쪽 수반을 갖는다.
• 이 분류는 강한 함수자기보다 더 일반적이다: 비완비적 확장된 카테고리가 존재하며, 이들은 정확히 강하지 않은 오플락스 함수자기와 대응된다.
• V-모나이드 카테고리의 자연 변환은 일반적인 2-카테고리적 교환 관계가 아니라, 확장 카테고리 내의 비대칭 브레이드 구조 때문에 브레이드 교환 관계를 만족한다.
• 이 구성은 비틀림 해제화를 일반화한다: 임의의 브레이드 오플락스 FZ: V → Z(T) 에 대해, T//V 라는 V-모나이드 카테고리를 얻을 수 있으며, V → Vec 가 오플락스일 경우 이는 비틀림 해제화로 축소된다.
• 드린펠트 중심 내에서 복합 함수의 메이트는 수반과 교환 관계를 활용하여 (jaηv) ◦ (−⊗C −) 로 명시적으로 계산된다.
• 이 이론은 V-모나이드 카테고리의 카테고리가 카르테시안 곱을 갖지 않으며, 브레이드 구조의 영향으로 2-카테고리적 구조도 갖지 않음을 드러낸다.