[논문 리뷰] Relative symmetric monoidal closed categories I: Autoenrichment and change of base

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모노이드 닫힘 범주에서의 자동 enrichment에 대해 2-함수적 프레임워크를 수립하며, 각 such 범주 $\upsilon$에 대해 그 $\upsilon$-enriched 동반체 $\underline{\upsilon}$를 할당하는 것이 op-2-피브라된 2-범주로의 2-함수적 사상으로 확장됨을 보여준다. 핵심 결과는 대칭 모노이드 닫힘 수반 관계가 이 2-함수적 통과를 통해 $\upsilon$-enriched 수반 관계를 유도함으로써, 수반 관계가 $\upsilon$-자연스럽고 $\upsilon$-함수적임을 보장하며, 고전적 수반 관계를 enrich된 2-범주적 구조로 통합함을 보여준다.

ABSTRACT

Symmetric monoidal closed categories may be related to one another not only by the functors between them but also by enrichment of one in another, and it was known to G. M. Kelly in the 1960s that there is a very close connection between these phenomena. In this first part of a two-part series on this subject, we show that the assignment to each symmetric monoidal closed category $V$ its associated $V$-enriched category $\underline{V}$ extends to a 2-functor valued in an op-2-fibred 2-category of symmetric monoidal closed categories enriched over various bases. For a fixed $V$, we show that this induces a 2-functorial passage from symmetric monoidal closed categories $ extit{over}$ $V$ (i.e., equipped with a morphism to $V$) to symmetric monoidal closed $V$-categories over $\underline{V}$. As a consequence, we find that the enriched adjunction determined a symmetric monoidal closed adjunction can be obtained by applying a 2-functor and, consequently, is an adjunction in the 2-category of symmetric monoidal closed $V$-categories.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모노이드 닫힘 범주에서의 자동 enriching의 2-범주적 구조를 형식화하여, 고전적 enriching 개념을 2-함수적 맥락으로 확장한다.
• 기저 $\upsilon$ 위의 대칭 모노이드 닫힘 범주에서 기저 $\mathscr{V}$ 위의 대칭 모노이드 닫힘 $\mathscr{V}$-범주로의 2-함수적 통과를 수립한다.
• 기저 $\upsilon$ 위의 대칭 모노이드 닫힘 수반 관계가 자동 enriching 2-함수적 사상에 의해 자연스럽게 $\upsilon$-enriched 수반 관계를 유도함을 보여준다.
• 상대 enriching을 위한 2-범주적 기초를 제공하며, Grothendieck의 상대적 시각을 enrich된 범주 이론으로 일반화한다.
• G. M. Kelly가 이전에 발표하지 않은 결과를 회복하고 형식화한다: 기저 위의 범주로의 함자에 의해 enrich된 범주와 그 기저 위의 범주 간의 동치성

제안 방법

• 논문은 대칭 모노이드 닫힘 범주의 2-범주에서 다양한 기저에 대해 enrich된 범주의 op-2-피브라된 2-범주로 향하는 2-함수적 사상을 구성한다.
• 자기 자신에 대해 enrich된 $\mathscr{V}$-범주로의 자동 enriching 구조 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$ 를 사용한다. 여기서 $\mathscr{V}$ 는 내부 호와 모노이드 구조를 통해 자신 자신에 대해 enrich된다.
• 함수, 자연 변환, 수반 관계가 대칭 모노이드 닫힘 범주 간의 사상과 변환으로서 유지될 때, 이들이 enrich된 사상과 enrich된 2-세포로 어떻게 올라가는지를 보여줌으로써 2-함수적 성질을 확립한다.
• doctrinal adjunction (Kelly, 1972) 을 적용하여 enrich된 수반 관계가 기저 범주 $\mathscr{V}$ 와 기저 수반 관계에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다.
• 모노이드 함자에 대한 mate 가 op-모노이드임을 보여주어, $\upsilon$-enriched 범주 간의 수반 관계가 enrich 구조와 호환됨을 보장한다.
• 비교 동형사상 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ 을 사용하여 enrich된 범주의 기저 범주와 원래 범주를 식별함으로써, enrich 구조의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 모노이드 닫힘 범주 $\mathscr{V}$ 의 자동 enriching 을 2-함수적 사상으로 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 기저 $\mathscr{V}$ 로의 사상이 있는 대칭 모노이드 닫힘 범주와 기저 $\mathscr{V}$-범주로의 대칭 모노이드 닫힘 범주 간의 2-범주적 관계는 무엇인가?
• RQ3 기저 $\mathscr{V}$ 위의 범주들 사이의 대칭 모노이드 닫힘 수반 관계 $F \dashv G$ 는 자동 enriching 2-함수적 사상에 의해 어떻게 $\mathscr{V}$-enriched 수반 관계로 올라가는가?
• RQ4 enrich된 수반 관계가 기저 수반 관계와 기저 범주 $\mathscr{V}$ 에 의해 어떻게 완전히 결정되는가?
• RQ5 고전적 결과인 $\mathscr{V}$-enriched 범주가 기저 $\mathscr{V}$ 로의 함자로부터 유도된다는 것을 2-범주적 프레임워크에서 회복하고 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 할당 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$ 는 대칭 모노이드 닫힘 범주의 2-범주에서 op-2-피브라된 enrich된 범주의 2-범주로의 2-함수적 사상으로 확장된다.
• 모든 대칭 모노이드 닫힘 범주 $\mathscr{M}$ 이 기저 $\mathscr{V}$ 로의 사상 $G: \mathscr{M} \to \mathscr{V}$ 를 지닌 경우, $\mathscr{M}$ 은 자연스럽게 대칭 모노이드 닫힘 $\mathscr{V}$-범주로서의 구조를 지닌다.
• 기저 $\mathscr{V}$ 위의 범주들 사이의 대칭 모노이드 닫힘 수반 관계 $F \dashv G$ 는 $\mathscr{V}$-enriched 수반 관계 $\acute{F}_0 \dashv \grave{G}_0$ 로, 대칭 모노이드 닫힘 $\mathscr{V}$-범주의 2-범주에서 유도된다.
• $\mathscr{V}$-enriched 수반 관계는 doctrinal adjunction 의 도ctr린을 통해 기저 수반 관계와 기저 범주 $\mathscr{V}$ 에 의해 유일하게 결정된다.
• 비교 동형사상 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ 은 enrich된 범주의 기저 범주를 원래 범주 $\mathscr{M}$ 과 식별함으로써 enrich 구조의 일관성을 보장한다.
• 이 결과는 대수적 기하학의 고전적 예를 일반화한다. 예를 들어, 스킴 위의 층 범주나 유도 범주 간의 $g^* \dashv g_*$ 수반 관계가 자연스럽게 $\mathscr{V}$-enriched 수반 관계임을 보여준다.