[논문 리뷰] Monte Carlo simulation of stoquastic Hamiltonians

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 10.

Quantum many-body systems참고 문헌 27인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 지도 상태가 기본 상태와 비가시한 중첩을 가지는 경우, 국소적 스토쿠스틱 하미르토니안의 기본 상태 에너지를 몬테카를로 방법을 사용해 효율적으로 추정할 수 있음을 규명한다. 이는 지도된 스토쿠스틱 하미르토니안 문제의 복잡도 클래스 MA에 대한 완전성을 증명하고, 자성 전이장 이징 모델이 제르룸-신클라 알고리즘에 기반한 고전적 FPRAS를 통해 다항 시간 내에 시뮬레이션될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Stoquastic Hamiltonians are characterized by the property that their off-diagonal matrix elements in the standard product basis are real and non-positive. Many interesting quantum models fall into this class including the Transverse field Ising Model (TIM), the Heisenberg model on bipartite graphs, and the bosonic Hubbard model. Here we consider the problem of estimating the ground state energy of a local stoquastic Hamiltonian $H$ with a promise that the ground state of $H$ has a non-negligible correlation with some `guiding' state that admits a concise classical description. A formalized version of this problem called Guided Stoquastic Hamiltonian is shown to be complete for the complexity class MA (a probabilistic analogue of NP). To prove this result we employ the Projection Monte Carlo algorithm with a variable number of walkers. Secondly, we show that the ground state and thermal equilibrium properties of the ferromagnetic TIM can be simulated in polynomial time on a classical probabilistic computer. This result is based on the approximation algorithm for the classical ferromagnetic Ising model due to Jerrrum and Sinclair (1993).

연구 동기 및 목표

• 지침 상태가 존재하는 스토쿠스틱 하미르토니안의 기본 상태 에너지 추정 문제의 계산 복잡도를 체계화하는 것.
• 지난된 스토쿠스틱 하미르토니안 문제의 복잡도 클래스 MA에 대한 완전성을 보여주는 것.
• 자성 전이장 이징 모델의 기본 상태 및 열적 성질이 고전적으로 다항 시간 내에 시뮬레이션될 수 있음을 보여주는 것.
• 스토쿠스틱 하미르토니안이 부호 문제를 피하고 고전적 효율적 시뮬레이션에 적합함을 믿는 데 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 스토쿠스틱 하미르토니안을 시뮬레이션하기 위해 가변적인 워커 수를 가진 프로젝션 몬테카를로 알고리즘을 사용한다.
• 수지-트로터 공식을 적용하여 양자 분할함수를 비음수 가중치를 가진 고전적 분할함수로 매핑한다.
• 기본 상태와 다항적으로 작은 비가시한 중첩을 가지는 지도 상태를 사용하여 효율적 샘플링을 가능하게 한다.
• 다중 복사본 간의 계층 간 결합을 통해 문제를 고전적 자성 이징 모델로 감소시킨다.
• 제르룸과 신클라(1993)가 제안한 고전적 자성 이징 모델에 대한 FPRAS(Fully Polynomial Randomized Approximation Scheme)를 활용한다.
• 테일러 급수 전개와 연산자 노름 한계를 사용하여 트로터-수지 분해에서의 근사 오차를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지침 상태가 존재하는 스토쿠스틱 하미르토니안의 기본 상태 에너지 추정 문제는 복잡도 클래스 MA에 포함되는가?
• RQ2 자성 전이장 이징 모델의 기본 상태 에너지는 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ3 비가시한 중첩을 가지는 지도 상태의 존재가 스토쿠스틱 하미르토니안의 고전적 몬테카를로 시뮬레이션을 효율적으로 가능하게 하는가?
• RQ4 기저 변환과 고전적 샘플링을 통해 광범위한 양자 모델에서 부호 문제를 피할 수 있는가?
• RQ5 지난된 스토쿠스틱 하미르토니안 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 지난된 스토쿠스틱 하미르토니안 문제는 복잡도 클래스 MA에 대해 완전하므로, 확률적 증명 하에 계산의 난이도와 검증 가능성을 입증한다.
• 자성 전이장 이징 모델의 기본 상태 에너지는 다항 오차 δ 내에서 시간 O(n^59 J^21 δ^(-9)) 내에 근사 가능하며, 로그 인자들을 무시한 경우이다.
• 매핑된 자성 이징 모델의 고전적 분할함수는 실행 시간 O(δ^(-2) M^3 N^11 log N)를 가지는 FPRAS를 갖는다. 여기서 N = nr 이고 M ≤ n^2 r 이다.
• h_u ≥ δ/n 이라고 가정할 경우 펌터베이션 추론을 통해 양자 분할함수의 근사 오차가 δ 이하로 제한된다.
• 트로터-수지 근사에서 오차의 연산자 노름은 12ρ^3 이하로 제한되어 시리즈 전개의 수렴을 보장한다.
• 이 방법은 자성 전이장 이징 모델의 열적 및 기본 상태 성질을 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션할 수 있으며, 양자 기원에도 불구하고 이러한 모델이 효율적으로 시뮬레이션 가능하다는 것을 입증한다.