[논문 리뷰] More Classes of Complete Permutation Polynomials over $\F_q$

Gaofei Wu, Nian Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 𝔽_q에서 Zieve의 기준과 추적 함수를 사용하여 완전 순열 다항식(CPP)의 새로운 클래스를 제시한다. 이는 Niho 지수를 가진 단항 및 다항 CPP를 포함하며, p=3 및 홀수 소수에 대한 명시적 구성법을 제공하고, 추적 기반 다항식 변환을 통해 기존 결과를 일반화하며, gcd 조건 하에서 𝔽_{p^{rk}}에서 CPP의 새로운 충분 조건을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, by using a powerful criterion for permutation polynomials given by Zieve, we give several classes of complete permutation monomials over $\F_{q^r}$. In addition, we present a class of complete permutation multinomials, which is a generalization of recent work.

연구 동기 및 목표

• 유한체 𝔽_q에서 알려진 완전 순열 다항식(CPP)의 클래스를 확장하는 것, 특히 f(x)와 f(x)+x가 모두 순열인 경우에 중점을 두고.
• 최근의 CPP 결과를 일반화하기 위해 추적 함수와 계수 조건에 기반한 새로운 다항식 구성법을 도입하는 것.
• r, p, p−1에 대한 특정 gcd 제약 조건 하에서 𝔽_{p^{rk}}에서 단항 및 다항 CPP에 대한 필요 및 충분 조건을 제공하는 것.
• Niho 지수와 딕슨 다항식에 관한 이전 연구를 통합하고 일반화하는 것, 완전 순열의 맥락에서.
• 확장 체 위에서 Zieve의 기준과 다항식 복합 기법을 활용한 CPP 구성 프레임워크를 수립하는 것.

제안 방법

• 순열 다항식을 위한 Zieve의 기준을 활용하여, 덧셈 특성 합과 월쇼 변환을 사용해 순열 성질을 검증한다.
• 문헌 [28]의 보조정리 4를 적용하여 f(x) = x^l g(x^{(p^n−1)/(p^k−1)}) 형태로 CPP를 구성하며, gcd(l, (p^n−1)/(p^k−1)) = 1 이고, 𝔽_{p^k}에서 계수의 곱이 순열이 되어야 한다는 조건을 만족한다.
• 𝔽_{p^{rk}} 위에서 계수를 𝔽_{p^k}에 두고, 추적 함수 Tr_k^n(x) = ∑_{i=0}^{r−1} x^{p^{ik}}를 사용해 다항 CPP를 정의한다.
• 일반적 구성법 f(x) = x( (a/v)g(Tr_k^n(x)) + Tr_k^n(x)^{p−1} ) + (p−1)x^p + ax를 제안하며, g는 𝔽_{p^k}에서 xg(x) + vx가 순열이 되도록 선택된다.
• 체의 자동형사상과 추적 대칭성 성질을 활용해 순열 조건을 기본 체 조건으로 환원하여, 귀납적 구성이 가능하게 한다.
• 특히, f(x)=f(y)이면 x−y ∈ 𝔽_{p^k}임을 보이고, gcd 조건 하에서 x=y로 이어지는 추적 항등식과 곱셈 순서의 논리적 분석을 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p=3이고 d=3^k+2일 때, 𝔽_{3^{2k}}에서 ax^d가 완전 순열 다항식인가?
• RQ2 홀수 소수 p와 1≤i≤n에 대해, d = (p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i가 𝔽_{p^{2k}}에서 CPP 지수인가?
• RQ3 r=4,6이고 p=3,5일 때, f(x) = x^{(p^{rk}−1)/(p^k−1)} + 1이 𝔽_{p^{rk}}에서 CPP인가?
• RQ4 a ∈ 𝔽_{p^k}∖{0,−1}일 때, f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax가 𝔽_{p^{rk}}에서 CPP가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 딕슨 다항식 또는 다른 𝔽_{p^k}에서의 순열 다항식을 어떻게 사용하여 추적 기반 구성법을 통해 𝔽_{p^{rk}}에서 새로운 CPP를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• p=3이고 n=2k일 때, d=3^k+2는 𝔽_{3^{2k}}에서 CPP 지수이며, 이는 이전 연구들과 다른 방법으로 증명되었다.
• 모든 홀수 소수 p와 n=2k일 때, 1≤i≤n에 대해 d=(p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i는 𝔽_{p^{2k}}에서 CPP 지수이다.
• r=4일 때, a^{-1}x^d가 𝔽_{p^{rk}}에서 CPP가 되기 위한 필요 및 충분 조건이 유도되었다. 여기서 d=(p^{rk}−1)/(p^k−1)+1이고 a∈𝔽_{p^k}^*이다.
• r=6이고 p=3 또는 5일 때, gcd(r,k)=1 이면, d=(p^{6k}−1)/(p^k−1)+1은 𝔽_{p^{6k}}에서 CPP 지수이다.
• 다항식 구성 f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax는 gcd(p−1,r)=1 이고 gcd(r,p)=1 이면, 𝔽_{p^{rk}}에서 CPP이다. 여기서 a∈𝔽_{p^k}∖{0,−1}이다.
• 이 구성은 [21]을 일반화하고 [22]를 확장하며, 알려진 CPP 지수 d에 대해 g(x)=x^{d−1}과 차수 5의 딕슨 다항식을 사용한 명시적 예시가 포함되어 있다.