[논문 리뷰] More Consequences of Falsifying SETH and the Orthogonal Vectors Conjecture

Amir Abboud, Karl Bringmann외 2명|TU/e Research Portal|2018. 05. 22.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 85인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 OV(수직 벡터) 및 SETH(강력한 지수적 시간 가설) 추측을 강화하기 위해, 이들이 잘못되었을 경우 기존에 알려진 것보다 훨씬 빠른 알고리즘이 존재할 수 있음을 보여줌으로써 이를 뒷받침한다. 이들 문제들로는 초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제, 그리고 희박한 TC1 회로의 만족 가능성 문제가 포함된다. 핵심 결과는 OV에 대한 비제곱 시간 알고리즘이 존재할 경우, 이러한 문제들에 대해 비지수적 시간 알고리즘이 존재하게 되며, 이는 그들의 난이도가 체계적 복잡도 가설과 깊이 연결되어 있음을 시사한다.

ABSTRACT

The Strong Exponential Time Hypothesis and the OV-conjecture are two popular hardness assumptions used to prove a plethora of lower bounds, especially in the realm of polynomial-time algorithms. The OV-conjecture in moderate dimension states there is no $ε>0$ for which an $O(N^{2-ε})\mathrm{poly}(D)$ time algorithm can decide whether there is a pair of orthogonal vectors in a given set of size $N$ that contains $D$-dimensional binary vectors. We strengthen the evidence for these hardness assumptions. In particular, we show that if the OV-conjecture fails, then two problems for which we are far from obtaining even tiny improvements over exhaustive search would have surprisingly fast algorithms. If the OV conjecture is false, then there is a fixed $ε>0$ such that: (1) For all $d$ and all large enough $k$, there is a randomized algorithm that takes $O(n^{(1-ε)k})$ time to solve the Zero-Weight-$k$-Clique and Min-Weight-$k$-Clique problems on $d$-hypergraphs with $n$ vertices. As a consequence, the OV-conjecture is implied by the Weighted Clique conjecture. (2) For all $c$, the satisfiability of sparse TC1 circuits on $n$ inputs (that is, circuits with $cn$ wires, depth $c\log n$, and negation, AND, OR, and threshold gates) can be computed in time ${O((2-ε)^n)}$.

연구 동기 및 목표

• OV 및 SETH 추측을 강화하기 위해, 이들의 반증이 여러 오랫동안 난이도로 간주되어 온 문제들—예를 들어 초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제, 그리고 희박한 TC1 회로의 만족 가능성 문제—에 대해 현재 알려진 것보다 훨씬 빠른 알고리즘을 유도할 수 있음을 보여주는 것.
• OV 추측이 잘못되었을 경우, d-초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제에 대해 어떤 ε > 0에 대해 O(n^{(1−ε)k}) 시간 내에 작동하는 랜덤화 알고리즘이 존재할 것임을 보여주는 것.
• CNF-SAT이 O*(2^{1−ε}n) 시간 내에 해결될 수 있다면, cn개의 선로와 깊이 (log n)^{1+δ}를 가진 희박한 TC1 회로의 만족 가능성은 어떤 ε' > 0에 대해 O(2^{(1−ε')n}) 시간 내에 계산될 수 있음을 증명하는 것.
• OV 추측이 가중 클리크 추측을 암시함으로써, 미세 복잡도 이론에서 두 핵심 추측 간의 연결 고리를 확립하는 것.

제안 방법

• OV 문제에서 d-초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제로의 감소를 통해, OV에 대한 비제곱 시간 알고리즘이 이러한 클리크 문제에 대해 비지수적 시간 알고리즘을 유도함을 보여주는 것.
• 레마 4.7(Valiant 스타일의 간선 제거)를 통한 깊이 감소 기법을 사용하여 임계 회로의 깊이를 줄이고, 이를 효과적으로 CNF 공식으로 변환할 수 있도록 하는 것.
• 특히 선택된 간선 집합 위에서 게이트 값들을 반복적으로 고정시키는 방식으로 임계 회로에서 k-CNF 공식을 구성함으로써, 회로의 깊이와 크기를 줄이면서도 만족 가능성은 유지하는 것.
• 결과로 얻어진 공식들에 대해 개선된 O*(2^{1−ε}n) 시간 복잡도를 가지는 랜덤화 알고리즘으로 CNF-SAT를 적용하여 원래의 임계 회로에 대해 비지수적 시간 알고리즘을 도출하는 것.
• DeMorgan 회로를 사용하여 대칭 게이트(예: 임계 및 MODm 게이트)를 시뮬레이션함으로써, 기본 임계 게이트를 넘어서 일반화된 결과를 도출하는 것.
• APSP, 3-SUM, 패턴 매칭 등의 문제들에 걸쳐, OV 또는 CNF-SAT의 개선이 P 및 NP 문제들 전반에 걸쳐 개선을 이끌어내는 감소 계층을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 OV 추측이 잘못되었을 경우, d-초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제에 대해 알고리즘적 결과로 어떤 영향을 미칠 것인가?
• RQ2 OV 문제에 대한 비제곱 시간 알고리즘이 임의의 깊이를 가진 희박한 TC1 회로에 대해 비지수적 시간 알고리즘을 유도할 수 있는가?
• RQ3 SETH의 실패가 APSP, 3-SUM, 클리크 문제 등의 복잡도에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ4 OV 추측은 가중 클리크 추측보다 엄격히 강한가, 아니면 감소에 의해 동치인가?
• RQ5 깊이 감소 기법을 사용하여, 임계 회로의 CNF 인코딩에서 공식의 수가 회로 깊이에 대해 어떻게 영향을 받을 수 있는가?

주요 결과

• OV 추측이 잘못되었을 경우, 모든 d 및 충분히 큰 k에 대해, 어떤 ε > 0에 대해 d-초그래프에서의 Zero-Weight-k-Clique 및 Min-Weight-k-Clique 문제를 O(n^{(1−ε)k}) 시간 내에 랜덤화 알고리즘으로 해결할 수 있다.
• OV 추측이 가중 클리크 추측을 암시함으로써, OV에 대한 비제곱 시간 알고리즘이 가중 클리크 문제에 대해 비지수적 알고리즘을 암시함을 의미한다.
• CNF-SAT이 O*(2^{1−ε}n) 시간 내에 해결될 수 있다면, cn개의 선로와 깊이 (log n)^{1+δ}를 가진 희박한 TC1 회로의 만족 가능성은 어떤 ε' > 0에 대해 O(2^{(1−ε')n}) 시간 내에 계산될 수 있다.
• 감소 과정에서 생성된 k-CNF 공식의 수는 최대 2^{εn/2}이며, 각 공식의 변수 수는 최대 (1 + ε/2)n이므로 전체 크기는 여전히 비지수적이다.
• k가 회로 깊이 d에 대한 의존성은 (4000(c/ε) lg(4c/ε))^{(2d)^{1−ε/(2c)}}로 감소하여, 깊이 (log n)^{1+δ}인 회로들에 대해 지수적 속도 향상을 가능하게 한다.
• 결과적으로 OV 추측의 반증은 그래프 알고리즘, 문자열 매칭, 계산 기하학 등 여러 분야에서 기존 알려진 하한선이 붕괴되며, 이는 근본적인 알고리즘적 돌파구를 의미한다.