[논문 리뷰] Morse--Sard theorem and Luzin $N$-property: a new synthesis result for Sobolev spaces

Adele Ferone, Mikhail V. Korobkov외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소볼레프 및 분수 소볼레프 사상에 대해 모어즈–사르 정리와 루진 N-성질의 새로운 통합을 수립하며, 만약 집합 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 에 대해 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 이면 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ 임을 증명한다. 여기서 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ 이며, $ \tau < n $ 일 때 적절한 적분 가능성 $ p $ 에 대한 날카로운 의존성으로, 고전 결과를 최소 정규성 조건으로까지 확장한다.

ABSTRACT

For a regular (in a sense) mapping $v:\mathbb{R}^n o \mathbb{R}^d$ we study the following problem: {\sl let $S$ be a subset of $m$-critical a set $ ilde Z_{v,m}=\{{ m rank} abla v\le m\}$ and the equality $\mathcal{H}^τ(S)=0$ (or the inequality $\mathcal{H}^τ(S)0$. Does it imply that $\mathcal{H}^σ(v(S))=0$ for some $σ=σ(τ,m)$?} (Here $\mathcal{H}^τ$ means the $τ$-dimensional Hausdorff measure.) For the classical classes $C^k$-smooth and $C^{k+α}$-Holder mappings this problem was solved in the papers by Bates and Moreira. We solve the problem for Sobolev $W^k_p$ and fractional Sobolev $W^{k+α}_p$ classes as well. Note that we study the Sobolev case under minimal integrability assumptions $p=\max(1,n/k)$, i.e., it guarantees in general only {\it the continuity} (not everywhere differentiability) of a mapping. In particular, there is an interesting and unexpected analytical phenomena here: if $τ=n$ (i.e., in the case of Morse--Sard theorem), then the value $σ(τ)$ is the same for the Sobolev $W^k_p$ and for the classical $C^k$-smooth case. But if $τ

연구 동기 및 목표

• 소볼레프 및 분수 소볼레프 공간의 사상에 대해 고전적인 모어즈–사르 정리와 루진 N-성질을 최소 적분 가능성 가정 하에 확장하는 것.
• 집합 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 에 대해 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 라면 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ 임을 보장하는 최적의 차원 $ \sigma $ 를 결정하는 것.
• 소볼레프 공간에서 임의의 적분 가능성 매개변수 $ p $ 에 따른 임계 차원 $ \sigma $ 의 의존성을 규명하고, 특히 $ \tau < n $ 일 경우의 특이성을 분석하는 것.
• 최적의 정규성 조건 하에서 $ W^{k}_{p} $ 와 $ W^{k+\alpha}_{p} $ 사상에 대해 날카로운 $ (\tau, \sigma, m) $-N-성질을 수립하는 것.

제안 방법

• 대수기하학에 기반한 다항함수의 근접 임계값에 대한 Y. 요미딘이 제안한 깊은 엔트로피 추정치의 활용.
• 이전에 J. 보르게인과 J. 크리스텐센과 공동으로 확립한 소볼레프 사상의 등고선 집합에 대한 하우스도르프 측도 추정치의 적용.
• 사상에 의한 원상의 크기를 제어하기 위해 일반화된 공액 공식과 허더 타입 부등식의 활용.
• 유한 차원의 큐브에 대한 국소 추정치로 문제를 축소하기 위해 커버링 추론과 도함수의 $ L_p $-노름 제어.
• 정리 2.1의 집합 함수 $ \Phi $ 를 사용하여 예외 집합의 크기를 정량화하고 $ N $-성질 조건을 검증하는 것.
• $ \sum \ell(Q_i)^\tau \leq C $ 조건 하에서 $ \|h\|_{L_p(Q_i)} $ 와 $ \|h\|_{L_{p,1}(Q_i)} $ 의 감쇠 추정치를 통해 엄밀한 $ N $-성질을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소볼레프 사상 $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 에 대해 $ p = \max(1, n/k) $ 일 때, $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 이고 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 이면 $ (\tau, \sigma, m) $-N-성질이 성립하는가?
• RQ2 $ \tau < n $ 일 때 임계 차원 $ \sigma $ 는 $ p $ 에 따라 어떻게 달라지며, 이는 고전적인 $ C^k $-경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 최소 적분 가능성과 허더 타입 정규성 조건 하에서 $ W^{k+\alpha}_{p} $-사상에 대해 엄밀한 $ (\tau, \sigma, m) $-N-성질을 수립할 수 있는가?
• RQ4 소볼레프 공간에서 날카로운 경계 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ 가 유효한가? 그리고 $ p \to \infty $ 일 때 이는 고전적인 $ C^k $-결과로 축소되는가?
• RQ5 요미딘의 엔트로피 추정치는 소볼레프 사상 하에서 $ \mathcal{H}^\tau $-측도가 유한한 집합의 원상 크기를 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 이고 $ p = \max(1, n/k) $ 이면, $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ 에 대해 $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ 이면 $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ 이며, 이때 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ 이고, $ W^k_p $ 에서는 $ \alpha = 0 $ 이다.
• $ \tau = n $ 일 때, 임계 차원 $ \sigma $ 는 고전적인 $ C^k $-경우와 동일하여, 다양한 정규성 클래스 간의 일관성을 확인한다.
• $ \tau < n $ 일 때, $ \sigma $ 의 값은 $ p $ 에 대해 명시적으로 의존하며, $ p \to \infty $ 의 극한에서 고전적인 $ C^k $-결과로 복귀된다.
• $ W^{k+\alpha}_{p} $-사상에 대해서도 동일한 조건 하에 엄밀한 $ (\tau, \sigma, m) $-N-성질이 성립하며, 동일한 $ \sigma $-공식이 유지되며, $ C^{k,\alpha+} $-유형 정규성 하에서도 유지된다.
• 증명은 세밀한 $ L_p $-노름 추정치와 큐브 분할에 대한 허더 부등식에 기반하며, 다항함수의 근접 임계값에 대한 요미딘의 엔트로피 추정치가 핵심적인 역할을 한다.
• 미분이 실패하거나 도함수가 큰 곳인 예외 집합 $ A_v $ 는 $ \mathcal{H}^\mu $-측도의 관점에서 무시할 수 있으며, 이는 문제를 정규화된 등고선 집합으로 축소할 수 있음을 허용한다.