[논문 리뷰] Mosco Type Convergence and Weak Convergence for a Fleming-Viot type Particle System

Jörg‐Uwe Löbus|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계가 매끄러운 유계 $d$-차원 영역에서 비대칭 $n$-입자 Fleming-Viot 시스템에 대해, 초기 측도와 생성자에 대한 부분적 적분을 이용하여 Mosco형 수렴과 약수렴을 수립한다. 주요 기여는 스토로호드 공간 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$에서의 상대적 컴actsness를 증명하고, 측도값 과정 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$의 약수렴을 비선형 PDE를 만족하는 극한 과정으로 보여주는 것이다. 이 수렴은 유한차원 부분적 적분과 무한차원 미적분학을 통해 확립된다.

ABSTRACT

We are concerned with Mosco type convergence for a non-symmetric $n$-particle Fleming-Viot system $\{X_1,\ldots,X_n\}$ in a bounded $d$-dimensional domain $D$ with smooth boundary. Moreover, we are interested in relative compactness of the $n$-particle processes. It turns out that integration by parts relative to the initial measure and the generator is the appropriate mathematical tool. For finitely many particles, such integration by parts is established by using probabilistic arguments. For the limiting infinite dimensional configuration we use a result from infinite dimensional non-gaussian calculus.

연구 동기 및 목표

• 경계가 매끄러운 유계 $d$-차원 영역에서 비대칭 $n$-입자 Fleming-Viot 시스템에 대해 Mosco형 수렴과 상대적 컴actsness를 수립하는 것.
• 유한한 $n$에 대해 스토로호드 공간 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$에서 측도값 과정 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$의 약수렴을 분석하는 것.
• 유한한 $n$에 대한 극한 정리들을 통해 점프 오프 위치와 점프 거리의 극한 행동을 특성화하는 것.
• 입자 수 $n$에 대해 생성자와 초기 측도에 대한 유한차원 부분적 적분을 개발하고 적용하는 것.
• 유한차원 결과를 무한차원 극한으로 확장하기 위해 무한차원 공간에서의 비정규 미적분학을 적용하는 것.

제안 방법

• 입자 수 $n$에 대해 초기 측도와 생성자에 대한 부분적 적분을 중심적인 분석 도구로 사용한다.
• 특히 Proposition 5.3(a)에서 유한차원 부분적 적분을 확보하기 위해 확률론적 추론을 적용한다.
• 무한차원 비정규 미적분학을 사용하여 극한 무한차원 구성의 처리를 수행한다.
• 기술적 조건 (c7)을 확보하기 위해 $E = {\rm M}_{\partial}(\overline{D})$인 스토로호드 공간 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$를 사용한다. 여기서 ${\rm M}_{\partial}(\overline{D})$는 $D$에서 일치하는 확률측도의 동치류 집합이다.
• 완전한 과정의 약수렴을 확보하기 위해 [12]의 보조정리 2.9와 유사하게 유한차원 분포의 약수렴에 의존한다.
• 표현 $v(t,y) = \frac{1}{z(t)}\int_D p(t,x,y)\mu(dx)$를 적용하여, $z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$ 이면 극한 궤적 $v(t,x)\,dx$가 비선형 PDE $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$를 만족하며, $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ 임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 $n$에 대해 $n$-입자 Fleming-Viot 과정이 스토로호드 공간 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$에서 Mosco형 수렴과 상대적 컴actsness를 보이게 되는가?
• RQ2 특히 극한이 비선형 PDE를 만족하는 경우를 고려할 때, 일반적인 초기 측도 하에서 측도값 과정 $X^n_t$의 약수렴이 확립될 수 있는가?
• RQ3 $n \to \infty$일 때 $n$-입자 시스템의 점프 오프 위치와 점프 거리의 극한 행동은 무엇인가?
• RQ4 유한한 $n$에 대해 생성자와 초기 측도에 대한 부분적 적분이 엄밀하게 어떻게 확립되며, 이는 수렴 결과를 뒷받침하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 무한차원 비정규 미적분학은 유한차원 결과를 무한차원 극한으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 스토로호드 공간 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$에서 $n$-입자 과정 $X^n_t$의 Mosco형 수렴과 상대적 컴actsness를 수립하였으며, 적절한 조건 하에서 약수렴을 함의한다.
• 유한차원 분포의 약수렴을 이용하여 측도값 과정 $X^n_t$의 $X_t$로의 약수렴이 증명되었으며, [12]의 결과와 제7장의 최종 비고 (1)을 활용하였다.
• 극한 과정 $X_t$의 궤적 $v(t,x)\,dx$는 비선형 PDE $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$를 만족하며, $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ 이고 $v(0,x)\,dx = \mu$ 이다. 여기서 $z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$ 이다.
• Proposition 3.2(a) 및 (b)는 $n \to \infty$일 때 $n$-입자 시스템의 점프 오프 위치와 점프 거리에 대한 극한 정리를 제공하며, 입자 시스템의 점근적 행동을 특성화한다.
• Proposition 5.3(a)의 유한차원 부분적 적분 결과는 Propositions 5.3(b) 및 (c)의 수렴 증명을 가능하게 하는 핵심 기술적 도구이며, Mosco형 수렴을 확립하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 논문은 $\mathbb{E}_{\boldsymbol{\nu}_n} e^{-\beta \tau_{B^c}} \leq \varepsilon_n$ 이며 $\varepsilon_n \to 0$ 이다($n \to \infty$)는 것을 보여주어 조건 (c8)을 확인하고 상대적 컴actsness를 뒷받침한다.