[논문 리뷰] Moser-Trudinger type inequalities for complex Monge-Ampère operators and Aubin's "hypothèse fondamentale"

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 06.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 48인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 복소 몽에-아프레 연산자에 대한 모저-트루디엔저 유형 부등식에 대한 아비에의 '기초 가설'을 컴act한 정수 켈러 다양체와 ℂⁿ 내의 준볼록 도메인에서 증명한다. 단위 구의 S¹-불변 함수에 대해 날카운 부등식을 수립하고, 브레지스-머르르 유형 부등식과 연관시킨다. 이는 복소 몽에-아프레 방정식의 존재성과 폭발 분석에 응용된다.

ABSTRACT

We prove Aubin's "Hypothese fondamentale" concerning the existence of Moser-Trudinger type inequalities on any integral compact Kähler manifold X. In the case of the anti-canonical class on a Fano manifold the constants in the inequalities are shown to only depend on the dimension of X (but there are counterexamples to the precise value proposed by Aubin). In the different setting of pseudoconvex domains in complex space we also obtain a quasi-sharp version of the inequalities and relate it to Brezis-Merle type inequalities. The inequalities are shown to be sharp for S^{1}-invariant functions on the unit-ball. We give applications to existence and blow-up of solutions to complex Monge-Ampère equations of mean field (Liouville) type.

연구 동기 및 목표

• 정수 켈러 클래스를 가진 컴팩트 켈러 다양체에서 복소 몽에-아프레 연산자에 대한 모저-트루디엔저 유형 부등식의 존재성에 관한 아비에의 '기초 가설'을 증명한다.
• ℂⁿ 내의 준볼록 도메인에서 모저-트루디엔저 부등식의 준날카운 형태를 수립하고, 이를 브레지스-머르르 유형 부등식과 연관시킨다.
• ℂⁿ 내의 단위 구에서 S¹-불변 함수의 경우 부등식의 날카움을 분석한다.
• 부등식을 복소 몽에-아프레 방정식의 존재성과 폭발 행동 분석에 응용한다.
• 극한 함수의 역할과 임계 및 초임계 영역에서의 해의 구조를 조사한다.

제안 방법

• 선다발의 양의 곡률 메트릭 공간에서의 마부치 메트릭을 사용하여 지오데식선을 따라의 볼록성을 활용한다.
• 공간 $k\mathcal{H}_0(X,\omega)$를 $c_1(L)=[\omega]$를 만족하는 풍부한 선다발 $L$의 $k$제곱 텐서 곱에 대한 메트릭 공간 $\mathcal{H}(kL)$로 식별한다.
• 실수 경우의 딜리클레 에너지 기능의 대체로 몽에-아프레 에너지 기능 $\mathcal{E}_\omega(u)$를 적용한다.
• 차원에만 의존하는 상수를 가진 $u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$에 대해 부등식 $\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$ 를 유도한다.
• 준날카운 브레지스-머르르 부등식을 사용하여 폭발 행동과 해의 특이성 구조를 분석한다.
• 단위 구 내의 반지름 해를 분석하여 임계 경우 $\gamma = n+1$를 연구하고, 극한 함수의 원형 대칭성을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 켈러 클래스를 가진 컴팩트 켈러 다양체에서 복소 몽에-아프레 연산자에 대한 아비에의 '기초 가설'이 성립하는가?
• RQ2 ℂⁿ 내의 준볼록 도메인에서 준날카운 모저-트루디엔저 부등식을 수립할 수 있으며, 이는 브레지스-머르르 부등식과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 단위 구에서 모저-트루디엔저 부등식의 날카운 상수는 오직 $S^1$-불변 함수에 의해서만 달성되는가?
• RQ4 임계 및 초임계 영역 $\gamma = n+1$ 및 $\gamma > n+1$ 에서 복소 몽에-아프레 방정식의 해의 행동은 어떠한가?
• RQ5 기능 $\mathcal{G}_\gamma$의 최대화자가 존재하면, 단위 구 내의 해가 원형 대칭을 가짐을 의미하는가?

주요 결과

• 논문은 정수 켈러 클래스를 가진 컴팩트 켈러 다양체에서 아비에의 '기초 가설'을 증명하며, $u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$에 대해 부등식 $\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$ 를 수립한다.
• 반대변환 선다발의 클래스에 속하는 파노 다양체의 경우, 부등식의 상수는 복소 차원 $n$에만 의존하지만, 아비에가 제안한 정확한 값은 반례에 의해 잘못임을 입증한다.
• ℂⁿ 내의 단위 구에서, $S^1$-불변 함수에 대해 모저-트루디엔저 부등식은 날카롭게 성립하며, 극한 함수 $\phi_0^\epsilon$ 는 $\epsilon \to 0$ 일 때 날카운 상수를 달성한다.
• 부등식은 다음의 소볼레프 유형 추정과 동치임을 보였다: 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 $\|u\|_{L^p(X)}^{n+1} \leq Cp^n(-\mathcal{E}_\omega(u))$ 이며, $C$ 는 $ω$ 에만 의존한다.
• 임계 경우 $\gamma = n+1$ 에서, 기능 $\mathcal{G}_\gamma$ 가 위로 유계임은 오직 날카운 모저-트루디엔저 부등식이 성립할 때에만 성립하며, 이는 모든 극한 해가 원형임을 추측함에 따라 도출된다.
• 초임계 경우 $\gamma > n+1$ 에서, 기능 $\mathcal{G}_\gamma$ 는 위로 무한히 커지므로 최대화자가 존재하지 않으며, 관련 몽에-아프레 방정식의 해는 $\mathcal{E}^1(\Omega)$ 내에 존재할 수 없다.