[논문 리뷰] Motivic modular forms from equivariant stable homotopy theory

Nicolas Ricka|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℝ 및 ℂ 위에서 모티빅 모듈라 형식의 세포적 모티빅 스펙트럼을 구축하여 Dan Isaksen의 추측을 해결한다. 두 단계 방법—먼저 상위 모듈라 형식(sp. tmf)의 C₂-등변 버전인 tmf_{C₂}를 구축한 후, nilpotent 완비화를 적용하는 모티빅 실현 함수자(functor)를 적용함—을 통해, 모티빅 스펙트럼을 생성한다. 이 스펙트럼의 코homology는 모티빅 스텐로프 대수의 부분대수인 Sq¹, Sq², Sq⁴에 의해 생성되는 부분대수에 대한 몫을 실현한다.

ABSTRACT

In this paper, we produce a cellular motivic spectrum of motivic modular forms over $\R$ and $\C$, answering positively to a conjecture of Dan Isaksen. This spectrum is constructed to have the appropriate cohomology, as a module over the relevant motivic Steenrod algebra. We first produce a $\G$-equivariant version of this spectrum, and then use a machinery to construct a motivic spectrum from an equivariant one. We believe that this machinery will be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• Spec(ℝ) 및 Spec(ℂ) 위에서 주어진 코homology를 갖는 모티빅 모듈라 형식 스펙트럼을 구축하는 것.
• Dan Isaksen이 A¹-안정 호모토피 범주 내에서 모티빅 tmf 스펙트럼의 존재성을 제기한 추측을 해결하는 것.
• 새로운 실현 기계를 통해 등변 안정 호모토피 이론과 모티빅 안정 호모토피 이론 사이의 다리를 놓는 것.
• 코homology가 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2) 및 𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)과 동형인 모티빅 모듈라 형식의 모델을 제공하는 것.

제안 방법

• Tate 다이어그램과 [BR17]에서 얻은 tmf의 Tate 스펙트럼을 이용하여, tmf_{C₂}로 표기되는 상위 모듈라 형식 스펙트럼의 C₂-등변 버전을 구축한다.
• Betti 실현 함수자와 그 오른쪽 수반 함수자 Sing을 이용하여, A¹-안정 호모토피 범주 내에서 Spec(ℝ) 위에서 등변 스펙트럼과 모티빅 스펙트럼을 연결한다.
• nilpotent 완비화 함수자 (·)^∧_{Sing(𝕊})를 사용하여, c*tmf_{C₂}의 역상으로부터 모티빅 스펙트럼 mmf_ℝ를 구성한다.
• 모티빅 코homology H𝔽_*^{*}((c*E)^∧_{Sing(𝕊}))가 스칼라 확장을 통해 E의 C₂-등변 코homology에서 유도된다는 사실을 활용한다.
• H𝔽_*^{*}(B′ℤ/2) ≅ H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb) 및 맵 ι*: H𝔽_*[x] → H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb)를 이용하여 등변 설정에서의 쌍대 스텐로프 대수를 계산한다.
• 모르피즘 Ψ: 𝒜_* → 𝔸_*가 ρ, τ 및 쌍대 스텐로프 대수의 생성자 ξ_i, τ_i를 포함하는 명시적 공식으로 결정되는 𝔽-대수 함수자임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Spec(ℝ) 위에서 모티빅 코homology가 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)와 동형이 되는 모티빅 스펙트럼의 모듈라 형식이 존재하는가?
• RQ2 C₂-등변 tmf를 사용하여 모티빅 모듈라 형식의 구축이 등변 접근법을 통해 달성될 수 있는가?
• RQ3 C₂-등변 스펙트럼의 코homology와 그 모티빅 실현의 코homology 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 모티빅 스텐로프 대수와 그 등변 대응체 사이의 관계는 모티빅 모듈라 형식의 맥락에서 어떻게 되는가?
• RQ5 Betti 실현과 nilpotent 완비화의 기계적 장치를 통해 등변 스펙트럼으로부터 모티빅 스펙트럼을 체계적으로 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 H𝔽_ℝ^*(mmf_ℝ) ≅ 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)를 만족하는 Spec(ℝ) 위의 모티빅 스펙트럼 mmf_ℝ를 구축하여, Isaksen의 추측을 확인한다.
• 역상에 의한 방법을 통해 Spec(ℂ) 위에서 모티빅 스펙트럼 mmf_ℂ를 얻으며, H𝔽_ℂ^*(mmf_ℂ) ≅ 𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)임을 확인한다.
• 핵심 구축은 mmf_ℝ := (c*tmf_{C₂})^∧_{Sing(𝕊})이며, 여기서 tmf_{C₂}는 tmf의 C₂-등변 버전이다.
• 모티빅 코homology H𝔽_*^{*}((c*E)^∧_{Sing(𝕊}))는 스칼라 확장을 통해 E의 C₂-등변 코homology에서 유도되며, 등변 코homology와 모티빅 코homology 사이의 정확한 연결 고리를 확립한다.
• 모르피즘 Ψ: 𝒜_* → 𝔸_*는 명시적으로 계산되었으며, Ψ(ξ̄₁) = τ₀ + ρξ₁ 및 Ψ(ξ̄₂) = ρ³ξ₂ + ρ²ξ₁τ₁ + ρτ₀τ₁ + ττ₁로 표현된다.
• 증명은 ι*, λ*, Ψ를 포함하는 다이어그램의 교환성과 쌍대 스텐로프 대수의 켤레를 이용하여 Ψ(ξ̄_n)의 공식을 검증한다.