[논문 리뷰] Motivic unipotent fundamental groupoid of $\mathbb{G}_{m} \setminus \mu_{N}$ for $N=2,3,4,6,8$ and Galois descents

Claire Glanois|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 18.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 갈루아 강하와 고천로프의 코프로덕트를 이용하여 N = 2, 3, 4, 6, 8에 대해 단위근에 대한 동역학적 다중 제타 값의 명시적 기저를 구성한다. 이는 순환환 위의 혼합 타이트 모티브의 델리의 결과에 대한 새로운 증명을 제공하며, 동역학적 반복 적분을 통한 다중 제타 값의 생성 가족을 제시하고, 필터링의 각 수준에서 깊이-2 관계에 대한 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

We study Galois descents for categories of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{N}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4, 8 ight\}$ or $\mathcal{O}_{N}$ for $N=6$, with $\mathcal{O}_{N}$ the ring of integers of the $N^{ ext{th}}$ cyclotomic field, and construct families of motivic iterated integrals with prescribed properties. In particular this gives a basis of honorary multiple zeta values (linear combinations of iterated integrals at roots of unity $\mu_{N}$ which are multiple zeta values). It also gives a new proof, via Goncharov's coproduct, of Deligne's results: the category of mixed Tate motives over $\mathcal{O}_{k_{N}}[1/N]$, for $N\in \left\{2, 3, 4,8 ight\}$ is spanned by the motivic fundamental groupoid of $\mathbb{P}^{1}\setminus\left\{0,\mu_{N},\infty ight\}$ with an explicit basis. By applying the period map, we obtain a generating family for multiple zeta values relative to $\mu_{N}$.

연구 동기 및 목표

• Galois 강하를 혼합 타이트 모티브의 범주에서 사용하여 N ∈ {2, 3, 4, 6, 8}에 대해 µN에 대한 동역학적 다중 제타 값(MMZV)의 명시적 기저를 구성하는 것.
• 고천로프의 코프로덕트를 통한 새로운 증명을 제시하여, OkN[1/N] 위의 혼합 타이트 모티브의 범주가 P1 \ {0, µN, ∞}의 동역학적 기본군의 범주에 의해 생성되며, 명시적 기저를 가짐을 보이는 델리의 결과를 재확인하는 것.
• 구축된 동역학적 기저에 주기 사상(per: HN → ZN)을 적용하여 µN에 대한 다중 제타 값의 생성 가족을 확립하는 것.
• 갈루아 강하에 대응하는 HN에 대한 동역학적 필터링(레벨)을 정의하고, 각 레벨에 대한 명시적 기저와 깊이를 제공하는 것.

제안 방법

• 고천로프의 코프로덕트에 의해 유도되고 브라운에 의해 확장된, 동역학적 다중 제타 값의 코액션 ∆를 통한 갈루아 강하를 사용한다.
• 각 강하(kN/kN', M/M')에 대해 HN에 대한 동역학적 필터링 F⌈_i를 정의하며, F⌈_0는 갈루아 군 GN/N′의 불변량에 대응한다.
• N에 따라 수준 구조가 다른 MMZVµN의 기저 BN을 구성한다: N=2일 때는 yi = 0인 수량이 수준이 되며, N=4일 때는 짝수인 xi 또는 xi=1의 수량이 수준이 된다; N=8일 때는 ǫi = -1인 수량이 포함된다.
• 주기 사상 per: HN → ZN을 적용하여 동역학적 결과를 구체적인 다중 제타 값으로 변환한다.
• 선형 조합을 통해 미분 연산자 D2r 및 D1◦D2r의 작용을 상쇄시키는 방식으로 각 N과 강하 수준에 대해 깊이-2 기저를 명시적으로 계산한다.
• 재귀적 구성과 명시적 계수 αa,b_k, βa,b, γx1,x2를 사용하여, 몫 H≥i = H/Fi−1H에서 코액션을 제거하는 관계를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N ∈ {2, 3, 4, 6, 8}에 대해 ON[1/N] 위의 P1 \ {0, µN, ∞}의 동역학적 기본군의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 혼합 타이트 모티브의 동역학적 프레임워크에서 순환환 위에 대해 갈루아 강하가 어떻게 명시적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 이러한 N에 대해 µN에 대한 완전하고 명시적인 동역학적 다중 제타 값 기저와 잘 정의된 수준 필터링은 무엇인가?
• RQ4 코액션 ∆ 및 연산자 D2r, D1◦D2r는 동역학적 필터링의 구조와 각 몫에서의 기저를 어떻게 결정하는가?
• RQ5 주기 사상을 통해 얻어진, µN에 대한 다중 제타 값(MZV)의 대응 생성 가족은 무엇인가?

주요 결과

• N=2일 때, 동역학적 오일러 합의 기저는 ζm(2y1+1,…,2yp+1; 1,…,1,−1) · (2πi)^s이며, yi ≥ 0, s ≥ 0이고 수준은 yi = 0인 수량과 같다.
• N=4일 때, 기저는 ζm(x1,…,xp; 1,…,1,√−1) · (2πi)^s이며, xi > 0이고, 수준은 H2로의 강하일 경우 짝수인 xi의 수량, H1로의 강하일 경우 짝수인 xi의 수량에 더해 xi=1인 수량이 된다.
• N=8일 때, 기저는 ζm(x1,…,xp; ǫ1,…,ǫpξ) · (2πi)^s이며, ǫi = ±1이고 수준은 ǫi = -1인 수량을 포함한다.
• 깊이 2에서 N=4 및 짝수 n일 경우, FkN/Q,P/1_1 Hn의 기저는 {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)}이며, a,b ≥ 0, (a,b) ≠ (0,0).
• N=8 및 홀수 n일 경우, Fk8/Q,2/1_1 Hn의 기저는 ζm(x1,x2;1,ξ) + ζm(x1,x2;−1,−ξ) + ζm(x1,x2;1,−ξ) + ζm(x1,x2;−1,ξ)에서 ζm(1,n−1;·)의 선형 조합을 빼며, 계수 γx1,x2 = (−1)^x2 * binom(2r−1, 2r−x2)를 포함한다.
• N=6 및 짝수 무게일 경우, Fk6/Q,P/1_1 Hn의 깊이-2 기저는 {ζm(2a+1,2b+1;1,ξ) − Σ αa,b_k ζm(n−2k,2k;1,ξ)}이며, a,b > 0.