[논문 리뷰] Motzkin Intervals and Valid Hook Configurations

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 23.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모츠킨 경로에 대한 새로운 부분순서를 도입하여 스탠리 및 탐리 라티스 사이의 중간 구조로 삼고, 312-회피 순열의 타당한 후크 구성과 이러한 새로운 부분순서 집합에서의 간격 사이의 전단사 관계를 확립한다. 또한 231-회피 타당한 후크 구성의 수가 팡의 모츠킨-탐리 부분순서 집합에서의 간격 수와 동일한 수열로 계수됨을 증명하며, 이러한 계수에 대한 점근적 공식과 생성함수를 제공한다. 또한 231-회피 타당한 후크 구성, 모츠킨-탐리 간격, 그리고 소단계를 갖는 1사분면 격자보행 사이의 깊은 연결성을 추측한다.

ABSTRACT

We define a new natural partial order on Motzkin paths that serves as an intermediate step between two previously-studied partial orders. We provide a bijection between valid hook configurations of $312$-avoiding permutations and intervals in these new posets. We also show that valid hook configurations of permutations avoiding $132$ (or equivalently, $231$) are counted by the same numbers that count intervals in the Motzkin-Tamari posets that Fang recently introduced, and we give an asymptotic formula for these numbers. We then proceed to enumerate valid hook configurations of permutations avoiding other collections of patterns. We also provide enumerative conjectures, one of which links valid hook configurations of $312$-avoiding permutations, intervals in the new posets we have defined, and certain closed lattice walks with small steps that are confined to a quarter plane.

연구 동기 및 목표

• 모츠킨 경로에 대한 새로운 부분순서 $\mathcal{M}_n^C$ 를 정의하여 스탠리 라티스 $\mathcal{M}_n^S$ 와 탐리 부분순서 집합 $\mathcal{M}_n^T$ 사이의 중간 구조로 삼는 것.
• 312-회피 순열의 타당한 후크 구성과 새로 정의된 부분순서 집합에서의 간격 사이의 전단사 관계를 확립하는 것.
• 231(또는 132)를 회피하는 순열에서의 타당한 후크 구성의 수를 세는 것. 이는 팡의 모츠킨-탐리 부분순서 집합에서의 간격 수와 연결된다.
• 이러한 구성의 수에 대한 점근적 공식을 유도하고, 231-회피 경우에 대해 생성함수를 제공하는 것.
• 231-회피 타당한 후크 구성, 모츠킨-탐리 간격, 소단계를 갖는 1사분면 격자보행 사이의 깊은 조합적 연결성을 추측하는 것.

제안 방법

• 모츠킨 경로에 대한 새로운 부분순서 $\mathcal{M}_n^C$ 를 정의하여, 스탠리 라티스 $\mathcal{M}_n^S$ 와 탐리 부분순서 집합 $\mathcal{M}_n^T$ 사이의 중간 구조로 삼는다.
• 312-회피 순열의 타당한 후크 구성과 $\mathcal{M}_n^C$ 에서의 간격 사이의 전단사 관계를 확립한다.
• 재귀 관계와 생성함수를 사용하여 231-회피 순열에서의 타당한 후크 구성의 수를 세며, 이중 생성함수 $I(x,z)$ 를 도출한다.
• 핵심 방법을 적용하여 $I(x,z)$ 에 대한 함수방정식을 해결하고, $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ 에 대한 닫힌형 생성함수를 이끌어낸다.
• 정규화 기법과 조합적 분해를 사용하여 문제를 부분구성 요소에서의 선택 수로 줄이며, $A_{\geq j-1}(i)$ 와 $B_{\geq j-1}(n)$ 을 포함하는 재귀 관계로 이끌어낸다.
• 생성함수를 추측하여 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ 와 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ 는 $\frac{1+x^2 - \sqrt{1-4x+2x^2+x^4}}{2x}$ 로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모츠킨 경로에 대한 새로운 부분순서를 어떻게 정의할 수 있을까? 이는 스탠리 라티스와 탐리 라티스 사이의 중간 구조가 되어야 한다.
• RQ2 312-회피 순열의 타당한 후크 구성과 새로운 부분순서 집합 $\mathcal{M}_n^C$ 에서의 간격 사이에 자연스러운 전단사 관계가 존재하는가?
• RQ3 231-회피 순열에서의 타당한 후크 구성의 수의 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ4 231과 1243을 모두 회피하는 순열에서의 타당한 후크 구성의 수에 대한 닫힌형 생성함수를 도출할 수 있는가?
• RQ5 231-회피 타당한 후크 구성, 모츠킨-탐리 부분순서 집합의 간격, 그리고 소단계를 갖는 1사분면 격자보행 사이에 깊은 조합적 연결성이 존재하는가?

주요 결과

• 길이 $n$ 인 312-회피 순열에서의 타당한 후크 구성의 수는 새로 정의된 부분순서 집합 $\mathcal{M}_n^C$ 에서의 간격 수와 일치하며, 직접적인 전단사 관계가 존재함을 보여준다.
• 길이 $n$ 인 231-회피 순열에서의 타당한 후크 구성의 수는 팡의 모츠킨-탐리 부분순서 집합 $\mathcal{M}_n^T$ 에서의 간격 수를 세는 동일한 수열로 주어지며, 점근적 성장률은 $\sim \frac{4^n}{n^{3/2}}$ 이다.
• 생성함수 $\sum_{n\geq 0} |\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))| x^n = 1 + \frac{2x^2}{3x - 1 + \sqrt{1 - 2x - 3x^2}}$ 는 $I(x,0)$ 의 생성함수로 도출되었으며, 이는 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ 의 수를 계수하는 데 사용된다.
• r=3 인 경우, 논문은 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,312))| = F_n$ (n번째 피보나치 수) 와 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,321))| = 1 + \binom{n-1}{2}$ 에 대한 명시적 생성함수를 제공한다.
• 생성함수 $\frac{1 + x^2 - \sqrt{1 - 4x + 2x^2 + x^4}}{2x}$ 는 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ 와 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ 의 동일한 생성함수일 것이라 추측하며, 첫 번째 등식은 [22]의 이전 결과에 의해 지지된다.