[논문 리뷰] MSF and Connectivity in Limited Variants of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 브로드캐스트 컨gested 클라이언트(범위 r=1)에서 연결 요소에 대한 최초의 하위 로그 알고리즘을 제시하며, rcast(n,2) 모델에서 결정적 MSF 및 확률적 CC 알고리즘의 효율적인 구현을 제공한다. 최적의 간선 용량을 유지하면서 낮은 라운드 복잡도를 달성하여, 범위 r=2가 거의 유니캐스트 통신 능력을 제공하며 최소한의 오버헤드로 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The congested clique is a synchronous, message-passing model of distributed computing in which each computational unit (node) in each round can send message of O(log n) bits to each other node of the network, where n is the number of nodes. This model has been considered under two extreme scanarios: unicast or broadcast. In the unicast model, a node can send (possibly) different message to each other node of the network. In contrast, in the broadcast model each node sends a single (the same) message to all other nodes. We study the congested clique model parametrized by the range r, the maximum number of different messages a node can send in one round. Following recent progress in design of algorihms for graph connectivity and minimum span- ning forest (MSF) in the unicast congested clique, we study these problems in limited variants of the congested clique. We present the first sub-logarithmic algorithm for connected components in the broadcast congested clique. Then, we show that efficient unicast deterministic algorithm for MSF and randomized algorithm for connected components can be efficiently imple- mented in the rcast model with range r = 2, the weakest model of the congested clique above the broadcast variant (r = 1) in the hierarchy with respect to range. More importantly, our al- gorithms give the first solutions with optimal capacity of communication edges, while preserving small round complexity.

연구 동기 및 목표

• 컨겟드 클라이언트 모델에서 브로드캐스트(r=1)와 유니캐스트(r=n) 사이의 격차를 메우기 위해 범위 r이 유한한 중간 rcast 모델을 연구함으로써, r=1에서 r=n으로의 전이를 이해하고자 한다.
• 특히 rcast(n,2)와 같은 범위 제한된 변형된 컨겟드 클라이언트 모델에서 최소 스패닝 포레스트(MSF) 및 연결 요소(CC)에 대한 효율적인 알고리즘을 설계하고자 한다.
• 이러한 모델에서 최적의 통신 용량(간선 용량)을 달성하면서도 낮은 라운드 복잡도를 유지하고자 한다.
• 분산 그래프 알고리즘에서 적응성(라운드 복잡도)과 총 통신 용량 간의 상호 관계를 탐색하고자 한다.

제안 방법

• 범위 r로 컨겟드 클라이언트 모델을 매개변수화하여, 각 노드가 라운드당 최대 r개의 서로 다른 메시지를 보낼 수 있는 rcast(n,r) 모델을 정의한다.
• 다중 스케치 및 로컬/글로벌 브로드캐스트 원리를 활용하여, 낮은 간선 용량으로 네트워크 전반에 걸쳐 컴포넌트 및 메타에지 정보를 효율적으로 확산시킨다.
• 대표 집합과 로컬 노드 조율을 사용하여 단계별로 보르류브카 알고리즘을 구현함으로써, 최소한의 통신으로 컴포넌트 간 에지 식별을 수행한다.
• 각 컴포넌트의 가장 작은 ID를 가진 노드가 랜덤으로 선택된 인cidnet 메타에지를 선택하고 브로드캐스트하여 통신 오버헤드를 최소화하는 랜덤 선택 전략을 활용한다.
• 컴포넌트 크기가 초지수적으로 증가하는 계층적 분해를 적용하여 하위 로그 수렴을 가능하게 한다.
• 각 라운드의 메시지 크기를 컴포넌트 크기에 따라 결정되는 로그 인자로 제한함으로써 총 간선 용량이 O(log n)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브로드캐스트 컨겟드 클라이언트(r=1)에서 연결 요소는 o(log n) 라운드 내에 계산될 수 있는가?
• RQ2 rcast(n,2)에서 최적의 간선 용량과 낮은 라운드 복잡도를 유지하면서 효율적인 MSF 및 CC 알고리즘을 구현할 수 있는가?
• RQ3 작은 r을 가진 rcast 모델에서 라운드 복잡도와 총 통신 용량 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 그래프 문제 해결 능력 측면에서 rcast(n,2) 모델은 유니캐스트 모델과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 브로드캐스트 컨겟드 클라이언트에서 MSF 또는 CC에 대해 하위 로그 라운드 복잡도를 달성하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 논문은 브로드캐스트 컨겟드 클라이언트(r=1)에서 연결 요소에 대한 최초의 하위 로그 알고리즘을 제시하며, whp(고확률로) O(log* n)의 라운드 복잡도를 달성한다.
• 결정적 MSF 알고리즘 [11]의 효율적 구현이 rcast(n,2)에서 이루어졌으며, 총 간선 용량 O(log n)과 O(log* n)의 라운드 수를 확보하였다.
• 확률적 연결 요소 알고리즘 [5]가 rcast(n,2)에서 최적의 간선 용량과 낮은 라운드 복잡도로 구현되었다.
• 제안된 알고리즘의 총 간선 용량은 O(log n)이며, 이는 상수 인자 범위 내에서 최적이다.
• rcast(n,2) 모델은 유니캐스트 모델에 비해 통신 용량을 상수 배수만 증가시켜도 거의 유니캐스트 통신 능력을 제공하며, 낮은 라운드 복잡도를 유지한다.
• 결과적으로 r=2만으로도 최적의 통신 용량을 유지하면서 효율적인 MSF 및 CC 알고리즘을 구현할 수 있으며, 이는 브로드캐스트와 유니캐스트 모델 간 격차를 메우는 데 중요한 단계임을 시사한다.