[논문 리뷰] MST in O(1) Rounds of the Congested Clique

Tomasz Jurdziński, Krzysztof Nowicki|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 26.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 혼잡한 클라이언트 모델에서 최소 스패닝 트리(MST)를 O(1) 라운드 내에 높은 확률로 계산하는 랜덤화된 분산 알고리즘을 제시한다. 이는 기존의 분산 알고리즘보다 더 빠른 수렴 속도를 확보하기 위해, 희소 부분그래프의 연결 요소를 결합하는 새로운 희소화 기법을 도입함으로써 달성된다. 이 기법은 문제를 두 가지 제한된 경우로 환원한다: 저도수 그래프와 O(n/log log n)개의 컴ponent로 나누어진 그래프이며, 이는 기존 및 새로운 라우팅 및 샘플링 기법을 사용해 O(1) 라운드 내에 해결할 수 있다.

ABSTRACT

We present a distributed randomized algorithm finding Minimum Spanning Tree (MST) of a given graph in O(1) rounds, with high probability, in the Congested Clique model. The input graph in the Congested Clique model is a graph of n nodes, where each node initially knows only its incident edges. The communication graph is a clique with limited edge bandwidth: each two nodes (not necessarily neighbours in the input graph) can exchange $O(\log n)$ bits. As in previous works, the key part of the MST algorithm is an efficient Connected Components (CC) algorithm. However, unlike the former approaches, we do not aim at simulating the standard Boruvka algorithm, at least at initial stages of the CC algorithm. Instead, we develop a new technique which combines connected components of sample sparse subgraphs of the input graph in order to accelerate the process of uncovering connected components of the original input graph. More specifically, we develop a sparsification technique which reduces an initial CC problem in $O(1)$ rounds to its two restricted instances. The former instance has a graph with maximal degree $O(\log \log n)$ as the input -- here our sample-combining technique helps. In the latter instance, a partition of the input graph into $O(n/\log \log n)$ connected components is known. This gives an opportunity to apply previous algorithms to determine connected components in $O(1)$ rounds. Our result addresses the problem from and the $O(\log \log n)$ algorithm of Lotker et al. [SPAA 2003; SICOMP 2005], improves over previous $O(\log* n)$ algorithm of Ghaffari et al. [PODC 2016] and $O(\log \log \log n)$ algorithm of Hegeman et al. [PODC 2015] . It also determines $Θ(1)$ round complexity in the congested clique for MST, as well as other graph problems, including bipartiteness, cut verification, s-t connectivity and cycle containment.

연구 동기 및 목표

• 혼잡한 클라이언트 모델에서 MST의 O(1) 라운드 복잡도를 달성하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 랜덤화된 복잡도인 O(log* n) 및 O(log log log n) 라운드보다 향상된 성능을 달성하기 위해.
• 연결성, 이분성, 사이클 포함 여부와 같은 관련 그래프 문제에 대해 O(1) 라운드 복잡도를 확립하기 위해.
• 희소 부분그래프 샘플링 및 병합을 통한 연결 요소 계산을 가속화하는 새로운 기법을 개발하기 위해.
• 효율적인 라우팅 및 프oxy 기반 계산을 활용해 복수의 알고리즘 인스턴스를 병렬로 실행하는 것이 O(1) 라운드 내에서 가능함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 원래의 MST 문제를 저도수 그래프와 분할된 그래프로 환원하는 희소화 기법을 도입하기 위해.
• 랜덤 샘플링을 사용해 최대 도수 O(log log n)인 희소 부분그래프를 구성함으로써, 효율적인 컴포넌트 병합을 가능하게 하기 위해.
• 프록시 노드를 사용해 √n개의 이러한 희소 부분그래프에서 수정된 Boruvka 스타일 알고리즘을 동시에 실행함으로써 분산 계산을 관리하기 위해.
• Lenzen의 라우팅 레마를 활용해 각 노드당 O(n)개의 메시지를 O(1) 라운드 내에 전달함으로써, 복수의 병렬 인스턴스 간 효율적인 노드 간 통신을 가능하게 하기 위해.
• 프록시 노드를 사용해 복수의 부분그래프 인스턴스를 통해 스패닝 포레스트 정보를 유지하고 전파하며, O(1) 라운드 내에 부모 포인터를 원래 노드로 라우팅하기 위해.
• MST를 연결 요소(CC)로 환원하고, 두 제한된 인스턴스의 결과를 결합함으로써 CC 문제를 O(1) 라운드 내에 해결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼잡한 클라이언트 모델에서 랜덤화 알고리즘을 사용해 MST 문제를 O(1) 라운드 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 표준 Boruvka 단계를 시뮬레이션하는 대신, 희소 부분그래프에서 유도된 연결 요소를 결합함으로써 연결 요소 계산을 가속화할 수 있는가?
• RQ3 혼잡한 클라이언트 모델에서 O(1) 라운드 제약 조건 하에 MST 및 관련 그래프 문제의 라운드 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 라운드 복잡도를 증가시키지 않고 복수의 CC 알고리즘 인스턴스를 병렬로 실행할 수 있는가?
• RQ5 프록시 기반 계산 및 효율적인 라우팅을 사용해 O(1) 라운드 내에서 복잡한 분산 알고리즘을 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 높은 확률로 혼잡한 클라이언트 모델에서 랜덤화 알고리즘을 사용해 MST의 O(1) 라운드 복잡도를 확립한다.
• 알고리즘은 최대 도수 O(log log n)인 그래프와 O(n / log log n)개의 컴포넌트로 나누어진 그래프로 구성된 두 가지 제한된 인스턴스로 MST 문제를 환원한다.
• 저도수 그래프의 연결 요소는 표준 Boruvka 시뮬레이션을 피하는 새로운 샘플링 및 병합 기법을 사용해 O(1) 라운드 내에 계산된다.
• 연결성으로의 환원을 통해 이분성, 컷 검증, s-t 연결성, 사이클 포함 여부와 같은 여러 검증 문제에 대해 O(1) 라운드 복잡도를 달성한다.
• Lenzen의 라우팅 레마를 활용해 각 노드당 O(n)개의 메시지를 O(1) 라운드 내에 전달함으로써, √n개의 알고리즘 인스턴스를 효율적으로 병렬 실행할 수 있다.
• 프록시 노드를 활용한 접근법은 복수의 알고리즘 인스턴스를 병렬로 시뮬레이션할 수 있도록 하며, 스패닝 포레스트의 부모 정보를 O(1) 라운드 내에 원래 노드로 라우팅할 수 있다.