[논문 리뷰] Multi-Dirac Structures and Hamilton-Pontryagin Principles for Lagrange-Dirac Field Theories

Joris Vankerschaver, Hiroaki Yoshimura외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 02.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 66인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기하학적이고 내재적인 방식으로 1차 고전적 장 이론을 기술하기 위해 디랙 구조의 계량 일반화로 다중-디랙 구조를 도입한다. 해밀턴-본트랴긴 원리로부터 유도된 암묵적 오일러-라그랑주 방정식이 다중-디랙 구조에 자연스럽게 포함됨을 입증하고, 이러한 구조가 다중-파아송 괄호를 유도하며, 적분 조건을 통해 비고전적 제약 조건으로 일반화됨을 보여준다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to define the concept of multi-Dirac structures and to describe their role in the description of classical field theories. We begin by outlining a variational principle for field theories, referred to as the Hamilton-Pontryagin principle, and we show that the resulting field equations are the Euler-Lagrange equations in implicit form. Secondly, we introduce multi-Dirac structures as a graded analog of standard Dirac structures, and we show that the graph of a multisymplectic form determines a multi-Dirac structure. We then discuss the role of multi-Dirac structures in field theory by showing that the implicit field equations obtained from the Hamilton-Pontryagin principle can be described intrinsically using multi-Dirac structures. Furthermore, we show that any multi-Dirac structure naturally gives rise to a multi-Poisson bracket. We treat the case of field theories with nonholonomic constraints, showing that the integrability of the constraints is equivalent to the integrability of the underlying multi-Dirac structure. We finish with a number of illustrative examples, including time-dependent mechanics, nonlinear scalar fields and the electromagnetic field.

연구 동기 및 목표

• 디랙 구조의 계량 일반화인 다중-디랙 구조를 사용하여 1차 고전적 장 이론의 기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 해밀턴-본트랴진 원리로부터 유도된 암묵적 장 방정식이 다중-디랙 구조를 통해 내재적으로 기술될 수 있음을 보여주는 것.
• 다중-디랙 구조로부터 자연스럽게 유도되는 다중-파아송 괄호의 구조를 확립하는 것.
• 비고전적 장 이론으로의 프ORMALISM의 확장과 다중-디랙 구조의 적분 조건을 통한 제약 조건의 적분 가능성 특성 기술.
• 스칼라 장과 전자기장과 같은 예시들을 포함해 장 방정식의 기하학적 통합과 내재적 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• 구성과 속도 변수를 별개로 다루며, 운동학적 제약 조건 $\dot{q} = v$ 를 라그랑주 승수 $p$ 를 통해 강제하는 방식으로 장 이론에 대해 변분 원리—해밀턴-본트랴진 원리—를 제안한다.
• 제트 다발의 접선 및 코접선 다발의 직합의 계량 부분다발로 다중-디랙 구조를 정의하며, 표준 디랙 구조를 고차원도로 일반화한다.
• 다중심플렉틱 형식의 그래프가 자연스럽게 다중-디랙 구조를 정의함을 보여주며, 심플렉틱 기하학과 장 이론을 연결한다.
• 다중-디랙 구조의 내재적 구조를 이용해 명시적 매개변수화 없이도 암묵적 오일러-라그랑주 운동 방정식을 포함함을 입증한다.
• 다중-디랙 구조에서 유도된 다중-파아송 괄호를 유도하며, 이를 장 이론적 환경으로 일반화한다.
• 비고전적 시스템에 프ORMALISM을 적용하기 위해, 제약 조건의 적분 가능성과 관련된 다중-디랙 구조의 적분 가능성과 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴-본트랴진 원리는 어떻게 1차 장 이론에 대해 기하학적이고 내재적인 방식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 다중-디랙 구조는 암묵적 장 방정식을 라그랑주-디랙 장 이론에서 어떻게 기술하는가?
• RQ3 다중-디랙 구조는 장 이론에서 어떻게 다중-파아송 괄호를 유도하는가?
• RQ4 비고전적 제약 조건의 장 이론에서의 적분 가능성에 대한 기하학적 조건은 무엇이며, 다중-디랙 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 프ORMALISM은 비선형 스칼라 장과 전자기장과 같은 물리적으로 관련된 장 이론에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 해밀턴-본트랴진 원리로부터 유도된 암묵적 장 방정식이 다중-디랙 구조의 기하학적 성질에 자연스럽게 포함됨을 입증하였다.
• 제트 다발 위의 다중심플렉틱 형식의 그래프는 자연스럽게 다중-디랙 구조를 정의하며, 장 이론의 기하학적 기초를 제공한다.
• 모든 다중-디랙 구조에 대해 다중-파아송 괄호가 고유하게 관련되며, 이를 통해 파아송 괄호를 장 이론적 환경으로 일반화하였다.
• 비고전적 장 이론의 경우, 제약 분포의 적분 가능성은 관련된 다중-디랙 구조의 적분 가능성과 동치임을 입증하였다.
• 이 프ORMALISM은 시간에 의존하는 역학, 비선형 스칼라 장, 전자기장 등 다양한 예시들을 성공적으로 기술하였다.
• 수축 연산 $\mathcal{X} \vrule height=0.0pt,depth=0.4pt,width=3.0pt\vrule height=7.0pt,depth=0.4pt\kern 3.0pt\Omega_M$ 의 계산은 장 방정식 (5.7)을 도출하며, 변분 원리와의 일관성을 확인하였다.