[논문 리뷰] Multi-factor approximation of rough volatility models

Eduardo Abi Jaber, Omar El Euch|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라프 볼라틸리티 모델에 대한 다인자 마코프 근사법을 제안하며, 라플라스 변환 근사를 통해 비마코프의 분수 커널을 지수 커널의 합으로 대체함으로써 효율적인 시뮬레이션과 가격 설정을 가능하게 한다. 주요 기여는 약한 수렴으로 원래의 라프 헤스턴 모델에 수렴하는 해석 가능한 마코프 모델을 제공하고, 특성 함수 내 분수 리카티 방정식을 푸는 수치적 방법을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

Rough volatility models are very appealing because of their remarkable fit of both historical and implied volatilities. However, due to the non-Markovian and non-semimartingale nature of the volatility process, there is no simple way to simulate efficiently such models, which makes risk management of derivatives an intricate task. In this paper, we design tractable multi-factor stochastic volatility models approximating rough volatility models and enjoying a Markovian structure. Furthermore, we apply our procedure to the specific case of the rough Heston model. This in turn enables us to derive a numerical method for solving fractional Riccati equations appearing in the characteristic function of the log-price in this setting.

연구 동기 및 목표

• 비마코프 및 비세미마르팅글 구조로 인해 라프 볼라틸리티 모델의 계산이 비현실적이 되는 문제를 해결하기 위해.
• 기존 라프 볼라틸리티 모델의 역사적 및 임의의 볼라틸리티 표면에 대한 통계적 적합도를 유지하면서 해석 가능한 마코프 근사 모델을 개발하기 위해.
• 라프 헤스턴 모델의 로그 가격 특성 함수에 나타나는 분수 리카티 방정식을 해결하는 데 사용할 수 있는 수치적 방법을 제공하기 위해.
• 라프 헤스턴 모델에 기반한 하크스 기반 근사법을 더 넓은 범위의 라프 볼라틸리티 모델 클래스로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 분수 커널 $ K(t) = \frac{t^{H-1/2}}{\Gamma(H+1/2)} $를 양의 측도 $ \mu $의 라플라스 변환으로 근사하여 $ K(t) = \int_0^\infty e^{-\gamma t} \mu(d\gamma) $를 도출한다.
• 측도 $ \mu $를 유한한 딜라르 측도의 합 $ \mu^n = \sum_{i=1}^n c_i^n \delta_{\gamma_i^n} $로 근사함으로써 스무딩된 커널 $ K^n(t) = \sum_{i=1}^n c_i^n e^{-\gamma_i^n t} $를 얻는다.
• 각각의 평균 회귀 속도 $ \gamma_i^n $를 갖는 $ n $개의 평균 회귀 오르누하이머 요소들의 가중합으로 구성된 다인자 확률적 볼라틸리티 모델 $ (S^n, V^n) $를 구성한다.
• 스토크스 볼테라 방정식 이론을 활용하여 근사 모델 $ (S^n, V^n) $의 강한 존재성과 유일성을 확립한다.
• 근사의 마코프 성격을 활용하여 로그 가격 특성 함수 내 분수 리카티 방정식을 해결하는 수치적 절차를 유도한다.
• 비교 원리와 리졸베이트 이론을 활용하여 커널의 정규 리졸베이트를 이용해 분수 리카티 방정식의 해를 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 라프 볼라틸리티 모델에 대해 역사적 및 임의의 볼라틸리티 표면에 대한 적합도를 유지하면서 다인자 마코프 근사 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 라프 볼라틸리티 모델 내 비마코프 분수 커널을 지수 함수의 합으로 근사하여 마코프 성격을 복원할 수 있는가?
• RQ3 다인자 근사 모델이 원래의 라프 볼라틸리티 모델에 대해 수렴하는 행동은 어떠한가?
• RQ4 이 근사법을 통해 라프 헤스턴 모델의 로그 가격 특성 함수를 수치적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 이 근사에서 발생하는 분수 리카티 방정식의 해에 대한 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 일반적인 조건 하에서 다인자 근사 모델 $ (S^n, V^n) $는 강하게 유일하게 해를 갖으며, 이는 수치적 안정성을 보장한다.
• 모델이 $ n \to \infty $일 때 원래의 라프 볼라틸리티 모델로 약한 수렴을 보이며, 볼라틸리티 과정의 통계적 성질을 유지한다.
• 마코프 성격을 복원함으로써 라프 볼라틸리티 모델 하에서 파생상품의 효율적 시뮬레이션과 가격 설정이 가능해진다.
• 원래의 라프 헤스턴 모델에서 해석이 어려운 특성 함수 내 분수 리카티 방정식을 해결하는 데 사용할 수 있는 수치적 방법이 도출되었다.
• 분수 리카티 방정식의 해는 정규 리졸베이트 $ E_\lambda $를 포함하는 명시적 표현으로 경계될 수 있으며, $ |h(t)| \leq |h_0| + (\|w\|_{\infty,T} + \lambda|h_0|) \int_0^T E_\lambda(s) ds $를 만족한다.
• 이 근사법은 라프 헤스턴 모델을 초월하여 일반적인 $ \sigma $를 갖는 더 넓은 범위의 라프 볼라틸리티 모델에 적용 가능하며, 하크스 기반 접근법을 일반화한다.