[논문 리뷰] Multi-input Schrödinger equation: controllability, tracking, and application to the quantum angular momentum

Ugo Boscain, Marco Caponigro외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 18.

Laser-Matter Interactions and Applications참고 문헌 20인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 Lie-대수적 및 Galerkin 근사 방법을 사용하여, 분해능 스펙트럼을 가진 다중 입력 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 근사 제어 가능성, 동시 제어 가능성, 진폭 내 추적 가능성을 위한 충분조건을 수립한다. 핵심 기여는 이전에 제어를 방해하던 스펙트럼의 분해와 공진을 극복할 수 있는 일반적 프레임워크를 제공하는 것으로, 펄스를 적용하지 않고도 회전하는 다극자 분자와 같은 양자 회전 운동량 시스템을 제어할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We present a sufficient condition for approximate controllability of the bilinear discrete-spectrum Schrödinger equation exploiting the use of several controls. The controllability result extends to simultaneous controllability, approximate controllability in $H^s$, and tracking in modulus. The result is more general than those present in the literature even in the case of one control and permits to treat situations in which the spectrum of the uncontrolled operator is very degenerate (e.g. it has multiple eigenvalues or equal gaps among different pairs of eigenvalues). We apply the general result to a rotating polar linear molecule, driven by three orthogonal external fields. A remarkable property of this model is the presence of infinitely many degeneracies and resonances in the spectrum preventing the application of the results in the literature.

연구 동기 및 목표

• 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 고도로 분해능된 스펙트럼(예: 다중 고유값 또는 동일한 스펙트럼 간격)이 존재하는 경우에도 일반적인 제어 가능성 결과가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 무한차원 힐버트 공간에서도 근사 제어 가능성의 범위를 동시 제어 가능성과 진폭 내 추적 가능성으로 확장하기 위해.
• 강한 스펙트럼 분해능이 있는 양자 시스템(예: 3차원 대칭 분자의 회전)을 펄스를 적용하지 않고 제어할 수 있는 비퍼터베이션 방법을 제공하기 위해.
• Galerkin 근사에서의 Lie-대수 조건을 기반으로 한 구조적 제어 설계 방법을 수립하여 알고리즘 기반 제어 합성 가능하게 하기 위해.
• 세 직교된 외부 필드 하에서 극성 선형 분자의 양자 회전 운동량과 같은 물리적 시스템에의 적용 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한차원 Galerkin 부분공간에서 제어 연산자의 생성하는 Lie 대수를 분석함으로써 제어 가능성을 보장하는 Lie–Galerkin 제어 조건을 제안한다.
• 드리프트 해밀토니안의 첫 N 고유상태에 의해 생성되는 유한차원 부분공간에서 슈뢰딩거 방정식의 Galerkin 근사를 사용한다.
• 직접 제거할 수 없는 제어 연산자의 대각 성분을 다루기 위해 볼록화 기법을 적용하여 분해된 부분공간의 제어를 가능하게 한다.
• 소실 효과가 존재하는 상황에서도 원하는 궤적의 진폭 내 추적을 보장하기 위해 수정된 Lie–Galerkin 추적 조건을 도입한다.
• 원하는 정확도에 관계없이 일정한 $L^1$ 노름 유계성을 가지는 조각상수 제어를 구성함으로써 $L^1$-유계 제어 합성 기법을 확립한다.
• 상태의 정규성 유지 보장을 위해 $s$-약한 결합 조건을 활용하여 $H^{s/2}$ 유사 노름에서 진화 연산자의 균일한 유계성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 해밀토니안 $H_0$의 스펙트럼이 다중 고유값이나 동일한 스펙트럼 간격을 포함하는 등 고도로 분해능된 경우, 이중선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 근사 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 퍼터베이션 없이도 다수의 초기 상태에 대해 $H^{s/2}$-노름에서 동시 제어 가능성과 진폭 내 추적 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ3 다중 제어를 사용함으로써 대칭성에 기인한 분해능으로 인해 단일 제어 방법이 실패하는 시스템에서도 제어 가능성이 확보될 수 있는가?
• RQ4 무한히 많은 분해능이 존재하는 시스템(예: 3차원 대칭 분자의 회전)을 펄스를 적용하지 않고도 제어할 수 있는 비퍼터베이션 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ5 시스템의 Lie-대수적 구조를 기반으로 한 구조적 알고리즘을 통해 명시적이고 $L^1$-유계 제어를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $H_0$의 스펙트럼이 고도로 분해능된 경우에도 적용 가능한 다중 입력 이중선형 슈뢰딩거 방정식의 근사 제어 가능성에 대한 충분조건을 수립한다. 이는 무한히 많은 분해능이 존재하는 시스템에도 적용 가능하다.
• 이 방법은 $H^{s/2}$-노름에서 다수의 초기 상태에 대해 균일한 $L^1$-유계 제어 입력을 유지하면서도 동시에 근사 제어 가능성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 힘의 손실이 있는 시스템에서 중요한 역할을 하는 주어진 궤적의 진폭 내 추적을 가능하게 하며, 해밀토니안의 펄스를 요구하지 않는다.
• 이전 연구보다 더 일반적인 결과를 도출하며, 단일 입력의 경우에도 적용 가능하며, 제어 항 $u(t)x$ 가 있는 라플라스-디리클레 연산자와 같은 시스템에도 적용 가능하다.
• 증명 과정은 구조적이며, [CBCS11]에서 보여진 것처럼 Lie–Galerkin 추적 조건을 활용하여 명시적 제어 법칙을 계산하는 알고리즘을 도출할 수 있다.
• 이전 연구(예: [BCCS12])에서 분해능을 깨기 위해 펄스를 사용하는 데 의존한 제한점을 극복하여, 전체 분해된 구조를 직접 다루는 데 성공한다.