[논문 리뷰] Multifractal analysis of irregular sets for weak Gibbs measures

Thiago Bomfim, Paulo Varandas|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 44인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확장형 리펄러 시스템에서 약한 깁스 측도 하에, 평형 상태의 공간 평균에서 벗어나는 Birkhoff 평균을 갖는 점들—즉, 비정상 집합의 위상적 압력을 정확하게 추정한다. H"older 연속 잠재력에 대해, 이러한 집합의 압력이 간격 I에서 전체 시스템의 압력과 대규모 탈진율 함수에 의해 결정됨을 보이며, 특성화 성질이 성립할 경우 대부분의 비정상 집합이 전체 시스템보다 엄격히 낮은 압력을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this article we prove estimates for the topological pressure of the set of points whose Birkhoff time averages are far from the space averages corresponding to the unique equilibrium state that has a weak Gibbs property. In particular, if $f$ has an expanding repeller and $\phi$ is an Holder continuous potential we prove that the topological pressure of the set of points whose accumulation values of Birkhoff averages belong to some interval $I\subset \mathbb R$ can be expressed in terms of the topological pressure of the whole system and the large deviations rate function. As a byproduct we deduce that most irregular sets for maps with the specification property have topological pressure strictly smaller than the whole system. Some extensions to a non-uniformly hyperbolic setting, level-2 irregular sets and hyperbolic flows are also given.

연구 동기 및 목표

• 약한 깁스 측도 하에 Birkhoff 시간 평균이 공간 평균에서 벗어나는 비정상 집합의 위상적 압력을 분석하는 것.
• 비정상 집합의 압력과 대규모 탈진율 함수 사이의 정량적 관계를 수립하는 것.
• 결과를 비균일하게 혼돈적인 설정과 혼돈 흐름 설정으로 확장하는 것.
• 특성화 성질을 갖는 비정상 집합이 전체 시스템보다 엄격히 낮은 위상적 압력을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• Birkhoff 평균의 수준 집합을 연구하기 위해 다중분포 분석 기법을 사용한다.
• 형평한 깁스 성질을 적용하여 일반 궤도의 측도론적 행동을 제어한다.
• 대규모 탈진 원리를 활용하여 비정상 집합의 압력을 전체 시스템의 압력과 비율 함수의 형태로 표현한다.
• 특성화 성질을 사용하여 원하는 에르고딕 평균을 갖는 궤도를 구성하고 압력 추정을 수행한다.
• 잠재력의 H"older 연속성을 기반으로 압력 추정의 정규성을 확보한다.
• 균일하게 혼돈적인 시스템에서 비균일하게 혼돈적인 시스템과 혼돈 흐름 설정으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 깁스 측도 하에 주어진 간격 I 내의 Birkhoff 평균을 갖는 점들의 위상적 압력은 전체 시스템의 압력과 어떻게 비교되는가?
• RQ2 확장형 리펄러 시스템에서 비정상 집합의 압력과 대규모 탈진율 함수 사이의 정확한 함수적 관계는 무엇인가?
• RQ3 특성화 성질을 갖는 비정상 집합은 전체 시스템보다 얼마나 엄격히 낮은 압력을 갖는가?
• RQ4 다중분포 압력에 관한 결과는 비균일하게 혼돈적인 시스템과 혼돈 흐름 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 약한 깁스 성질은 비정상 집합의 압력 추정에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• Birkhoff 평균이 간격 I 내에 있는 점들의 집합의 위상적 압력은 전체 시스템의 압력과 대규모 탈진율 함수를 포함한 항의 합으로 표현된다.
• 특성화 성질을 갖는 사상에 대해서는 대부분의 비정상 집합이 전체 시스템보다 엄격히 낮은 위상적 압력을 갖는다.
• 약한 깁스 평형 상태를 갖는 H"older 연속 잠재력에 대해 확장형 리펄러에서 결과가 성립한다.
• 비균일하게 혼돈적인 시스템과 혼돈 흐름 설정으로의 확장이 이루어져, 압력 추정의 강건성을 보여준다.
• 레벨-2 비정상 집합의 압력은 동일한 대규모 탈진 프레임워크를 통해 특성화된다.
• 약한 깁스 성질은 비정상 집합의 측도론적 및 위상적 압력 추정에 정밀한 제어를 가능하게 한다.