[논문 리뷰] Multilevel Monte-Carlo for computing the SCR with the standard formula and other stress tests

Aurélien Alfonsi, Adel Cherchali외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 23.

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 생명보험 자산배분 관리(ALM) 포트폴리오에서 미래 일자에 대한 솔베이시티 이사회 표준 공식(Solvency II standard formula)과 스트레스 테스트 하에서 솔베이시티 자본 요건(Solvency Capital Requirement, SCR)을 계산하기 위한 다수준 몬테카를로(MLMC) 추정기를 제안한다. 이는 조건부 기대값의 최대값 근처의 정규성 조건에 의존하는 이론적 수렴 속도를 확립하며, 특히 회귀 경로 의존성 문제를 피하는 바람에 최소 제곱 몬테카를로와 신경망보다 뛰어난 계산 효율성을 보인다.

ABSTRACT

This paper studies the multilevel Monte-Carlo estimator for the expectation of a maximum of conditional expectations. This problem arises naturally when considering many stress tests and appears in the calculation of the interest rate module of the standard formula for the SCR. We obtain theoretical convergence results that complements the recent work of Giles and Goda and gives some additional tractability through a parameter that somehow describes regularity properties around the maximum. We then apply the MLMC estimator to the calculation of the SCR at future dates with the standard formula for an ALM savings business on life insurance. We compare it with estimators obtained with Least Square Monte-Carlo or Neural Networks. We find that the MLMC estimator is computationally more efficient and has the main advantage to avoid regression issues, which is particularly significant in the context of projection of a balance sheet by an insurer due to the path dependency. Last, we discuss the potentiality of this numerical method and analyze in particular the effect of the portfolio allocation on the SCR at future~dates.

연구 동기 및 목표

• 솔베이시티 이사회 표준 공식 하에서 미래 일자에 대한 솔베이시티 자본 요건(SCR)을 수치적으로 효율적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 스트레스 테스트 및 SCR 계산에서 발생하는 조건부 기대값의 최대값 기대값을 추정하는 데 도전하는 것.
• 특히 최대값 주변의 정규성 조건 하에서 이 맥락에서의 다수준 몬테카를로 추정기의 이론적 수렴 보장을 제공하는 것.
• 자산배분 관리(AM) 및 생명보험 포트폴리오 맥락에서 최소 제곱 몬테카를로와 신경망 기반 추정기와의 MLMC 추정기 비교.
• 제안된 수치 프레임워크를 통해 포트폴리오 자산 배분이 미래 SCR 값에 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 논문은 솔베이시티 이사회 표준 공식 하에서 스트레스 테스트 시 발생하는 조건부 기대값의 최대값 기대값으로서의 SCR을 계산하기 위해 다수준 몬테카를로(MLMC) 추정기를 적용한다.
• 조건부 분산이 최대값 근처에서의 행동과 관련된 정규성 매개변수 η에 기반한 이론적 프레임워크를 도입하여, MLMC 추정기의 수렴 속도를 정량화한다.
• 경로의 계층적 이산화를 통해 수준 간 차이 추정기의 분산을 감소시킨다. 이는 굵은 수준과 미세한 수준을 포함한다.
• 핵심 구성 요소로는 조건부 기대값, 최대값 주변의 부호 변화를 위한 지표 함수, 추정 오차의 모멘트에 대한 경계가 포함된다.
• 조건부 기대값의 성질, 모멘트 부등식, 타워 성질을 사용하여 수준 간 분산을 제어하기 위해 이론적 경계를 유도한다.
• 직접 경로 기반 MLMC 샘플링을 통해 조건부 기대값의 최대값을 추정함으로써 회귀를 피함으로써, 회귀 근사에 기인한 편향을 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SCR이 조건부 기대값의 최대값을 포함할 경우, 다수준 몬테카를로 방법이 이론적으로 어떻게 정당화될 수 있는가?
• RQ2 이 맥락에서 MLMC 추정기의 수렴을 보장하는 기초 확률 과정에 대한 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ3 미래 SCR 계산에서 최소 제곱 몬테카를로와 신경망 기반 추정기와 비교할 때 MLMC 추정기는 계산 효율성과 정확도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 MLMC 시뮬레이션 프레임워크를 통해 자산 배분이 미래 일자에 예측된 SCR에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 MLMC 방법은 경로 의존적 현금흐름과 자산부채표 예측을 위한 ALM 환경에서, 회귀 기반 근사 없이도 효과적으로 처리할 수 있는가?

주요 결과

• MLMC 추정기의 차이 추정기 분산에 대해 수렴 속도가 K^(-1 - η/2)의 순서를 가지며, 여기서 η는 최대값 주변의 조건부 분포의 정규성을 측정하는 매개변수이다.
• 이론적 경계는 조건부 분산 D^p_{2+η}(X)가 잘 행동하고 최대값과의 거리가 너무 작지 않을 경우, MLMC 차이 추정기 분산이 더 빨리 감쇠함을 보여준다.
• 수치 실험에서 MLMC 추정기는 SCR 예측에서 최소 제곱 몬테카를로와 신경망 추정기보다 계산 효율성이 뛰어나다.
• MLMC 방법은 회귀 기반 방법에 내재된 경로 의존성 문제를 피하므로, 장기적 자산배분 관리 및 자산부채표 스트레스 테스트에 특히 적합하다.
• 이 방법은 포트폴리오 자산 배분이 시간에 따라 SCR의 변화에 상당한 영향을 미친다는 것을 드러내며, 전략적 자산 배분 및 자본 비용 모델링에 대한 함의를 가진다.
• 이 프레임워크는 강건하고 확장 가능하며, 실용적인 솔베이시티 이사회 및 ORSA(Own Risk and Solvency Assessment) 응용 분야에서의 사용을 뒷받침하는 이론적 보장을 제공한다.