[논문 리뷰] Multiple sign-changing solutions to a class of Kirchhoff type problems

Cyril Joël Batkam|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 23.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 킬라프프형 문제에 대해 임의로 높은 에너지를 가진 부호가 변화하는 해의 수열이 존재함을 보이는 데 사용할 수 있는 대칭 산맥을 넘는 정리의 새로운 변종을 수립한다. 비선형성에 대한 표준적 성장 및 대칭 조건 하에서, 저자들은 문제와 관련된 에너지 함수가 부호가 변화하는 임계점의 수열을 가지며, 이들의 에너지가 무한히 커짐을 보여준다. 이는 반선형 문제에 대한 고전 결과를 비국소적 킬라프프 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the existence of sign-changing solutions to non local Kirchhoff type problems of the form \begin{equation}\label{s} ag{S} -\Big(a+b\int_Ω| abla u|^2dx\Big)Δu=f(x,u)\, ext{ in }Ω,\quad\quad u=0 ext{ on }\partialΩ, \end{equation} where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N$ ($N=1,2,3$) with smooth boundary, $a>0$, $b>0$, and $f:\overlineΩ imes\mathbb{R} o\mathbb{R}$ is a continuous function. We give a positive answer to a long standing question concerning the existence of more than two sign-changing solutions to \eqref{s}. More precisely, we show in this paper that if $f$ is globally 3-superlinear, subcritical and odd with respect to the second variable, then \eqref{s} possesses an unbounded sequence of sign-changing solutions. Our approach is variational and relies on a new sign-changing version of the symmetric mountain pass theorem established in this paper.

연구 동기 및 목표

• 부호가 변화하는 해를 위한 비국소 문제에 특화된 새로운 임계점 정리를 수립하기 위해.
• 첫 번째 또는 유한 개 이하의 해를 초월하여 킬라프프형 방정식에 대한 부호가 변화하는 해의 존재를 확장하기 위해.
• 무한한 에너지 수준을 가진 부호가 변화하는 해의 수열의 존재를 증명하기 위해.
• 표준 방법이 실패하는 경우 $ b > 0 $ 인 비국소 문제에 적용 가능한 변분 프레임워크를 제공하기 위해.
• 비국소 타원형 문제에서 고에너지 부호가 변화하는 해에 대한 문헌에서의 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 비국소적 구조를 지닌 함수에 대해 부호가 변화하는 새로운 대칭 산맥을 넘는 정리를 개발하기 위해.
• 에너지 함수 $ \Phi(u) = \frac{a}{2}\|u\|^2 + \frac{b}{4}\|u\|^4 - \int_\Omega F(x,u)\,dx $ 를 $ H_0^1(\Omega) $ 에서 정의하며, 여기서 $ F(x,u) = \int_0^u f(x,s)\,ds $ 이다.
• 유한차원 부분공간에 대한 직교 투영 $ \Pi_{m_j} $ 을 사용하여 대칭 부분공간의 수열에서 임계점을 근사한다.
• 유계 팔라이-스미스 수열이 $ H_0^1(\Omega) $ 에서 강하게 수렴함을 보여, $(PS)^\star_{\text{nod}}$ 컴acts성 조건을 검증한다.
• $ \Phi $ 를 대칭 부분공간 $ Y_m $ 에 제한한 데에 추상적 임계점 정리를 적용하여, 부호가 변화하는 임계점의 존재를 보장한다.
• 비틀림-라빈스키 조건 $ \mu F(x,u) \leq u f(x,u) $ 와 $ f $ 의 홀함수 성질을 활용하여 해의 비자명성과 부호 변화 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 킬라프프형 문제에 대해 임의로 높은 에너지를 가진 부호가 변화하는 해의 수열이 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 비국소 항 $ \int_\Omega |\nabla u|^2 dx $ 를 포함하는 함수에 대해 대칭 산맥을 넘는 정리가 확장 가능한가?
• RQ3 반선형 문제에 사용된 변분 접근법을 $ b > 0 $ 인 킬라프프형 문제에 적응할 수 있는가?
• RQ4 비국소 설정에서 부호가 변화하는 해를 보장하는 임계점 정리를 구성할 수 있는가?
• RQ5 $ f $ 에 대한 어떤 조건이 부호가 변화하는 해의 에너지가 무한히 커지도록 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 문제 (S) 에 대해 에너지 $ \Phi(u_k) \to +\infty $ 가 $ k \to \infty $ 일 때 성립하는 부호가 변화하는 해의 수열 $ (u_k) $ 가 존재함을 증명한다.
• 에너지 함수는 $(PS)^\star_{\text{nod}}$ 조건을 만족하여 팔라이-스미스 수열이 부호가 변화하는 임계점로 수렴함을 보장한다.
• 새로운 부호가 변화하는 대칭 산맥을 넘는 정리는 비국소 문제에 적용되어 변분 분석에 대한 새로운 도구를 제공한다.
• 증명은 유한차원 부분공간에 대한 직교 투영과 소볼레프 포함 및 헬더 부등식을 사용하여 비선형 항을 제어하는 데 의존한다.
• 결과는 $ b = 0 $ 일 때 반선형 문제에 대한 고전 결과를 비국소 케이스로 확장하며, 비국소 확산이 존재함에도 불구하고 고에너지 부호가 변화하는 해가 존재함을 확인한다.
• 근사 수열의 양부분과 음부분에 대한 $ L^2 $-노름에 대한 균일한 하한 덕분에 해의 부호 변화 성질이 극한에서도 유지된다.