[논문 리뷰] Multiplicity of positive solutions for a class of fractional Schrödinger equations via penalization method

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 잠재력 $ V(x) $ 가 국소 최솟값을 가지며 비선형 항 $ f(u) $ 가 초선형 및 초임계 성장 조건을 만족하는 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 양해의 다중성을 확립한다. 페널티 방법과 루지에르니크-슈니레르만 카테고리 이론을 사용하여, 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 양해의 수는 집합 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 의 카테고리에 의해 아래에서 유계임을 증명한다. 해들은 $ V $ 의 최솟값점 근처에 집중된다. 이 결과는 절단과 모저 반복을 통해 이중거듭제곱 비선형성으로 확장된다.

ABSTRACT

By using the penalization method and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the multiplicity of positive solutions of the following fractional Schrödinger equation $$ \e^{2s}(-Δ)^{s} u + V(x)u = f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N} $$ where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $N>2s$, $(-Δ)^{s}$ is the fractional Laplacian, $V$ is a positive continuous potential with local minimum, and $f$ is a superlinear function with subcritical growth. We also obtain a multiplicity result when $f(u)=|u|^{q-2}u+λ|u|^{r-2}u$ with $20$, by combining a truncation argument and a Moser-type iteration.

연구 동기 및 목표

• 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 양해의 존재성과 다중성을 $ \varepsilon > 0 $ 인 단일 섭동 매개변수를 가진 클래스에서 확립하는 것.
• 해의 수가 집합 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 의 위상적 복잡성과 어떻게 관련되는지 밝히는 것, 여기서 $ V_0 = \inf V(x) $.
• 비선형성 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ 를 가진 이중거듭제곱 비선형성으로 다중성 결과를 확장하는 것, 여기서 $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ 이고 $ \lambda > 0 $.
• 해가 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때의 집중 행동을 분석하여, 해의 전역 최댓값이 $ V(x) = V_0 $ 를 만족하는 점으로 수렴함을 보이는 것.

제안 방법

• 비유계 도메인 $ \mathbb{R}^N $ 과 무한대에서 $ V(x) $ 에 대한 정보 부족으로 인한 컴팩트성 부족 문제를 다루기 위해 페널티 방법을 적용한다.
• 원래 문제를 $ \mathbb{R}^N $ 에서의 $ \varepsilon $-독립 방정식으로 변환하기 위해 변수변환 $ u(x) \mapsto u(\varepsilon x) $ 를 사용한다.
• 관련 에너지 함수의 임계점 수를 추정하기 위해 루지에르니크-슈니레르만 카테고리 이론을 활용한다.
• 이중거듭제곱 비선형성 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ 를 다루기 위해 절단 논증을 구현하여 기능이 필요한 컴팩트성 조건을 만족하도록 보장한다.
• 수렴성과 정규성 분석을 위해 해에 대한 균일한 $ L^\infty $ 유계성을 보이기 위해 모저 유형 반복을 적용한다.
• 분수 라플라스 연산자를 국소적 타입의 특이성 있는 타원형 문제로 연결하기 위해 카프레리-실베스트레 확장에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 슈뢰딩거 방정식 $ \varepsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(x)u = f(u) $ 에 대해 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 몇 개의 양해가 존재하는가?
• RQ2 양해의 수와 집합 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 의 위상학적 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 비선형성에 두 개의 경쟁적 거듭제곱이 존재하는 경우, 즉 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $, $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ 일 때 다중성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 해는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 어디에 집중되며, 이는 잠재력 $ V(x) $ 와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ M_\delta = \{x \in \mathbb{R}^N : \text{dist}(x,M) \leq \delta\} \subset \Lambda $ 를 만족시키는 경우, $ \varepsilon_\delta > 0 $ 가 존재하여 모든 $ \varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta) $ 에 대해 최소 $ \text{cat}_{M_\delta}(M) $ 개의 양해를 가진다.
• 각 양해 $ u_\varepsilon $ 는 $ \lim_{\varepsilon \to 0} V(x_\varepsilon) = V_0 $ 를 만족하는 점 $ x_\varepsilon $ 근처에 집중된다. 즉, 잠재력의 최솟값 근처에 집중된다.
• 비선형성 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $ 를 가진 다중성 결과는 절단과 모저 반복 논증을 통해 $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ 이고 $ \lambda > 0 $ 인 경우로 확장된다.
• 해들은 $ \lambda $, $ K $, 그리고 문제의 매개변수에 따라 의존하는 균일한 $ L^\infty $ 유계성을 가지며, 이는 작은 $ \lambda $ 에 대해 해의 존재를 보장한다.
• 해의 수는 $ M $ 이 $ M_\delta $ 에서의 루지에르니크-슈니레르만 카테고리에 의해 제어되며, 이는 임계점 수에 대한 위상적 하한을 제공한다.