[논문 리뷰] Multiplicity of solutions for fractional Hamiltonian systems with Liouville-Weyl fractional derivative

Amado Méndez, César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임계점 이론과 유형 성질을 이용하여 리우빌-베일 분수 유도를 포함하는 분수 히저니안 시스템에 대해 무한히 많은 해의 존재성을 확립한다. 잠재력의 비제곱 성장 조건과 행렬 $ L(t) $ 의 비강한 코ercivity이지만 엄밀히 양수인 하한 조건 하에서, $ L(t) $ 에 대한 강한 코ercivity 가정을 제거함으로써 이전 결과를 개선한다. 주요 기여는 $ L(t) \to \infty $ 가 되지 않아도 되는 비제곱 케이스에서 무한히 많은 해의 존재 기준을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of infinitely many solutions for the following fractional Hamiltonian systems: \begin{eqnarray}\label{eq00} _{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t))\\ u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}). onumber \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n^2})$ is a symmetric and positive definite matrix for all $t\in \mathbb{R}$, $W\in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R})$, and $ abla W$ is the gradient of $W$ at $u$. The novelty of this paper is that, assuming there exists $l\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ such that $(L(t)u,u)\geq l(t)|u|^{2}$ for all $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$ and the following conditions on $l$: $\inf_{t\in \mathbb{R}}l(t) >0$ and there exists $r_{0}>0$ such that, for any $M>0$ $$ m(\{t\in (y-r_{0}, y+r_{0})/\;\;l(t)\leq M\}) o 0\;\;\mbox{as}\;\;|y| o \infty. $$ are satisfied and $W$ is of subquadratic growth as $|u| o +\infty$, we show that ( ef{eq00}) possesses infinitely many solutions via the genus properties in the critical theory. Recent results in [Z. Zhang and R. Yuan, Solutions for subquadratic fractional Hamiltonian systems without coercive conditions, Math. Methods Appl. Sci., DOI: 10.1002/mma.3031] are significantly improved.

연구 동기 및 목표

• 리우빌-베일 분수 도함수를 포함하는 분수 히저니안 시스템에 대해 무한히 많은 해의 존재성을 조사한다.
• 최근의 비제곱 히저니안 시스템 결과를 확장하여, 이전에 $ |t| \to \infty $ 일 때 $ L(t) \to \infty $ 를 요구했던 $ L(t) $ 에 대한 코ercivity 가정을 제거한다.
• 임계점 이론의 유형 성질을 이용하여 무한히 많은 비자명한 해의 존재 기준을 수립한다.
• 에너지 함수의 행동과 임계값 $ c_j \to 0^- $ 이 $ j \to \infty $ 일 때 수렴하는 것을 분석한다.

제안 방법

• 좌우 리우빌-베일 분수 도함수의 조합을 이용해 분수 히저니안 시스템을 기술한다: $ {}_{t}D_{\infty}^{\alpha}({}_{-\infty}D_{t}^{\alpha}u(t)) + L(t)u(t) = \nabla W(t,u(t)) $.
• 분수 슈바르츠 공간 $ H^{\alpha}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^N) $ 에서 작업하며, 분수 도함수와 $ L^2 $-노름을 포함하는 노름을 갖는다.
• 에너지 함수 $ I(u) $ 의 무한히 많은 임계점을 증명하기 위해 임계점 이론의 유형 이론을 적용한다.
• $ L(t) $ 에 대한 조건을 부과한다: $ (L(t)u,u) \geq l(t)|u|^2 $, $ \inf l(t) > 0 $ 이며, $ l(t) $ 이 무한대에서 영역 측도 조건을 만족시킨다.
• $ W $ 가 비제곱임을 가정한다: $ |\nabla W(t,u)| = o(|u|) $ as $ |u| \to 0 $, 그리고 $ W(t,u) \geq a(t)|u|^\theta $, $ \theta < 2 $, $ b \in L^{2/(2-\theta)}(\mathbb{R}) $.
• 콤���트 임bedding과 약한 수렴 논증을 사용하여 $ \beta_j = \sup_{\|u\|_{X^\alpha}=1, u \in Z_j} \|u\|_{L^2} \to 0 $ as $ j \to \infty $ 를 보이며, 이는 $ c_j \to 0^- $ 를 증명하는 데 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력의 비제곱 성장 조건 하에서 리우빌-베일 도함수를 포함하는 분수 히저니안 시스템에 대해 무한히 많은 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이전 연구에서 요구되었던 $ L(t) $ 에 대한 코ercivity 가정을 제거하거나 상당히 약화시킬 수 있는가?
• RQ3 $ L(t) $ 와 $ W(t,u) $ 에 어떤 조건이 부여되어야 에너지 함수의 임계값 $ c_j $ 가 $ j \to \infty $ 일 때 $ c_j \to 0^- $ 를 만족하는가?
• RQ4 비주기적이고 비자율적인 계수를 갖는 분수 히저니안 시스템에 대해 유형 이론을 어떻게 효과적으로 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 잠재력 $ W $ 에 대한 비제곱 성장 조건과 $ L(t) $ 에 대한 완화된 조건 하에서, 즉 $ \inf l(t) > 0 $ 이고 $ l(t) $ 이 무한대에서 영역 측도 조건을 만족할 때, 시스템은 무한히 많은 비자명한 해를 갖는다.
• 에너지 함수의 임계값 $ c_j $ 는 $ j \to \infty $ 일 때 $ c_j \to 0^- $ 를 만족하며, 이는 해들이 에너지 측면에서 0에 수렴함을 나타낸다.
• 횔러의 부등식과 $ b(t) $ 가 $ L^{2/(2-\theta)} $ 에 유계임을 이용하여 에너지 함수 $ I(u) $ 의 코ercivity 가 확립되며, 이는 $ \|u\|_{X^\alpha} \to \infty $ 일 때 $ I(u) \to \infty $ 를 보장한다.
• 증명은 유형이 $ j $ 인 대칭 집합 $ S_j^\delta $ 의 수열을 구성하고, 기껏해야 동형사상(odd homeomorphism)을 사용하여 $ \gamma(I^{-\epsilon}) \geq j $ 를 보이는 데 의존하며, 이는 무한히 많은 임계점을 암시한다.
• 장과 위안의 이전 결과를 개선하여 $ l(t) \to \infty $ 가 되어야 한다는 요구 조건을 제거함으로써, 비코ercive이지만 엄밀히 양수인 $ L(t) $ 도 허용한다.
• 특히 $ l(t) $ 에 대한 영역 측도 조건, 즉 $ m(\{t \in (y-r_0,y+r_0) : l(t) \leq M\}) \to 0 $ as $ |y| \to \infty $ 는 변분 설정에서 필요한 감쇠를 보장한다.