[논문 리뷰] Multiscale Finite Element methods for advection-dominated problems in perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 25.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 32인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 다공성 영역에서 구배 지배(advection-dominated) 확산 문제에 대해, 다공부에 Dirichlet 또는 Neumann 조건이 적용된 경우의 다스케일 유한요소법을 개발하고 분석한다. Crouzeix-Raviart 유형의 다스케일 기저함수를 도입하여 약한 연속성을 확보하고, 버블 함수와 안정화 형식을 통합하며, 적절한 가정 하에 수렴 속도가 $\mathcal{O}(\varepsilon(\sqrt{\varepsilon/H} + H + \sqrt{\varepsilon}))$임을 증명하여 고구배 영역에서의 안정성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider an advection-diffusion equation that is advection-dominated and posed on a perforated domain. On the boundary of the perforations, we set either homogeneous Dirichlet or homogeneous Neumann conditions. The purpose of this work is to investigate the behavior of several variants of Multiscale Finite Element type methods, all of them based upon local functions satisfying weak continuity conditions in the Crouzeix-Raviart sense on the boundary of mesh elements. In the spirit of our previous works [Le Bris, Legoll and Lozinski, CAM 2013 and MMS 2014] introducing such multiscale basis functions, and of [Le Bris, Legoll and Madiot, M2AN 2017] assessing their interest for advection-diffusion problems, we present, study and compare various options in terms of choice of basis elements, adjunction of bubble functions and stabilized formulations.

연구 동기 및 목표

• 구배 지배 문제에서 고전적 유한요소법이 불안정성으로 인해 실패하는 다공성 영역에서의 안정적인 수치 해법을 개발하기 위해.
• 다공부 경계에서의 경계 조건(디리클레 대비 뉴먼)이 유동 거동과 수치적 안정성에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 다양한 다스케일 유한요소법(MsFEM) 변종의 성능을 조사하기 위해, 기저함수 선택, 버블 함수, 안정화 형식을 포함하여.
• 고구배, 소규모 다공성 영역에서 Crouzeix-Raviart 유형 局부 기저함수를 사용한 MsFEM의 수렴 추정을 수립하기 위해.
• 두 경계 조건 영역의 동질화 극한을 명확히 하여, 디리클레 조건은 해가 사라지지만 뉴먼 조건은 구배를 유지하는 결과를 도출하기 위해.

제안 방법

• 거시 메esh $\mathcal{T}_H$ 에서 국소 문제를 풀어 거시 요소의 경계에서 Crouzeix-Raviart 방식의 약한 연속성을 확보하는 다스케일 유한요소 기저함수를 구성한다.
• 다공부 경계에서 동질적 디리클레 또는 뉴먼 조건을 적용하여 다양한 물리적 거동을 모의하는 국소 문제를 설정한다.
• 고기울기 영역에서 근사 성질을 향상시키기 위해 다스케일 공간을 풍선 함수(bubble functions)로 풍부화시킨다.
• 일직선 확산과 일관된 안정화 항을 포함하는 이차형식 $c_H$ 를 사용한 안정화된 변분 형식을 적용한다.
• 연결성 보장을 위해 국소 문제에 대해 스텝-포인트 형식을 사용하여 안정성과 잘 정의됨을 보장한다.
• 거시 메쉬 $\mathcal{T}_H$ 와 함께 사용되며, 소스 항이 있는 동질 문제의 사전 계산된 국소 해를 이용해 다스케일 공간을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다공부에 적용된 디리클레 대비 뉴먼 경계 조건이 고구배 문제의 동질화 극한과 수치적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 Crouzeix-Raviart 기저함수를 사용한 MsFEM의 수렴 거동은 고구배, 다공성 영역에서 어떻게 되는가?
• RQ3 풍선 함수와 안정화의 추가가 고구배 문제에 대한 MsFEM의 정확성과 안정성 향상에 기여하는가?
• RQ4 구배장 스케일링 $\widehat{b}^\varepsilon = \frac{1}{\varepsilon}b(\cdot/\varepsilon)$ 의 선택이 수렴 속도와 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 혼합 경계 조건을 가진 국소 MsFEM 문제의 잘 정의됨에 대한 이론적 근거는 무엇인가?

주요 결과

• 다스케일 유한요소 해에 대해 $H^1$-반노름에서 수렴 속도가 $\mathcal{O}(\varepsilon(\sqrt{\varepsilon/H} + H + \sqrt{\varepsilon}))$ 임을 확보한다.
• 다공부에 디리클레 문제를 적용할 경우 해 $u^\varepsilon$ 는 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ 로 감쇠하며, 재스케일링된 극한은 구배 없이, 강한 구배 감쇠를 나타낸다.
• 뉴먼 문제의 경우 해는 1차수이며, 비어 있지 않은 동질화 극한으로 수렴하며, 구배장을 유지하여 주요 흐름의 구조를 보존한다.
• Crouzeix-Raviart 기저함수의 사용은 고구배 영역에서도 약한 연속성과 안정성을 보장한다.
• 풍선 함수와 안정화의 포함은 경계층과 다공부 근처에서 근사 품질을 크게 향상시킨다.
• 기저함수에 대한 국소 스텝-포인트 형식은 잘 정의되어 있으며, 국소 풍선 함수 $\Phi^{\varepsilon,E}_0$ 를 사용한 구성에 의해 inf-sup 조건이 충족된다.