[논문 리뷰] Nash embedding, shape operator and Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold

Shizan Fang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 나시 매bedding과 형태 연산자 이론을 사용하여 컴act 리만다이언만에서 나비에-스토크스 방정식에 대한 라플라스 연산자의 선택을 조사한다. 매니폴드를 유클리드 공간에 등거리로 매장함으로써, 저자들은 de Rham-Hodge 라플라스 연산자를 사용하여 나비에-스토크스 방정식에 대한 확률적 표현 공식을 유도하며, 이는 확률적 분석과 기하학적 유체역학에서 자연스러운 역할을 한다는 것을 밝힌다.

ABSTRACT

What is the suitable Laplace operator on vector fields for the Navier-Stokes equation on a Riemannian manifold? In this note, by considering Nash embedding, we will try to elucidate different aspects of different Laplace operators such as de Rham-Hodge Laplacian as well as Ebin-Marsden's Laplacian. A probabilistic representation formula for Navier-Stokes equations on a general compact Riemannian manifold is obtained when de Rham-Hodge Laplacian is involved. MSC 2010: 35Q30, 58J65

연구 동기 및 목표

• 다양한 라플라스 연산자—특히 de Rham-Hodge와 Ebin-Marsden—이 컴 pact 리만다이언만에서 나비에-스토크스 방정식에 대해 기하학적 및 분석적으로 얼마나 적합한지 명확히 하는 것.
• de Rham-Hodge 라플라스 연산자가 곡률 기하학에서 확률적 흐름과 변분 원리로부터 자연스럽게 유도되는지 조사하는 것.
• 일반적인 컴 pact 리만다이언만에서 de Rham-Hodge 라플라스 연산자를 사용하여 나비에-스토크스 방정식에 대한 확률적 표현 공식을 수립하는 것.
• 기하학적 불변성과 물리적 관련성 측면에서 변형 텐서에 기반한 Ebin-Marsden 라플라스 연산자와 de Rham-Hodge 라플라스 연산자를 비교하는 것.
• 킬링 벡터 장과 곡률(Ricci 텐서)이 Ebin-Marsden 라플라스 연산자가 발산이 없는 벡터 장의 공간을 유지하는 데 어떤 역할을 하는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 컴 pact 리만다이언만 $M$을 고차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^N$에 등거리로 매장시키는 나시 매장 기법을 사용한다.
• 라플라스-벨트라미 연산자 $\Delta = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2$가 성립하도록 $M$ 위의 벡터 장의 집합 $\{A_1, \dots, A_N\}$을 구성한다.
• 형태 연산자와 제2 기본 형식을 활용하여 $M$의 내재 기하학과 $\mathbb{R}^N$ 내의 외재 기하학 간의 관계를 규명한다.
• 발산이 없는 벡터 장에 대해 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$라는 항등식을 이용하여 de Rham-Hodge 라플라스 연산자를 통해 나비에-스토크스 방정식의 확률적 표현을 도출한다.
• 확률 흐름과 관련된 밀도 과정 $\rho_t$에 이토 미적분을 적용하여 $\rho_t$에 대한 확률적 편미분 방정식(SPDE)을 이끌어낸다.
• Lie 미분의 수반 연산자 $\mathcal{L}_{u_t}^*$와 해의 유일성을 활용하여 확률적 해가 고전적 해와 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이언만에서 나비에-스토크스 방정식에 대해 de Rham-Hodge와 Ebin-Marsden 라플라스 연산자 중 어느 것이 더 기하학적이고 물리적으로 자연스러운가?
• RQ2 일반적인 컴 pact 리만다이언만에서 de Rham-Hodge 라플라스 연산자를 사용하여 나비에-스토크스 방정식에 대한 확률적 표현 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 특히 Ricci 텐서에 의해 결정되는 매니폴드의 곡률은 Ebin-Marsden 라플라스 연산자가 발산이 없는 조건과 얼마나 호환되는가?
• RQ4 Ebin-Marsden 라플라스 연산자가 발산이 없는 벡터 장의 공간을 유지하는 데 필요한 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ5 형태 연산자와 나시 매장이 매니폴드 위의 벡터 장의 Lie 미분으로 라플라스 연산자를 분해하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• de Rham-Hodge 라플라스 연산자 $\square$는 컴 pact 리만다이언만에서 확률적 분석의 맥락에서 자연스럽게 나타나며, 나비에-스토크스 방정식에 대한 확률적 표현을 제공한다.
• 확률적 표현은 $-\square B = \sum_{i=1}^N \mathcal{L}_{A_i}^2 B + 2\mathcal{T}_1(B)$라는 항등식을 통해 도출되며, 여기서 $\{A_i\}$는 나시 매장에서 유도된 벡터 장이다.
• Ebin-Marsden 라플라스 연산자 $\hat{\square}$는 매니폴드가 아이н슈타인(즉, Ricci 곡률이 계량에 비례)이 아닐 경우 발산이 없는 벡터 장의 공간을 유지하지 않는다.
• 밀도 $\rho_t$에 대한 SPDE는 $d\rho_t = -\sqrt{2\nu}\langle dJ(x)\nabla\rho_t + \text{Trace}(\alpha)\rho_t, dW_t\rangle + (\nu\Delta\rho_t + \mathcal{L}_{u_t}\rho_t)dt$로 유도되며, 이는 확률적 흐름과 나비에-스토크스 역학을 연결한다.
• 초기 조건 $z_0 = 0$을 갖는 열 방정식 유형의 미분방정식 $\frac{dz_t}{dt} = -\nu \tilde{\square} z_t - \mathcal{L}_{u_t}^* z_t$의 해가 유일함을 이용하여 $z_t = 0$임을 증명함으로써, 확률적 해가 고전적 해와 일치함을 입증한다.
• Ebin-Marsden 라플라스 연산자는 발산이 없는 $B$에 대해 $\hat{\square}B = \square B + 2\text{Ric}(B)$를 만족함을 확인하여, 일반적인 곡률이 있는 매니폴드에서 발산 자유성의 유지에 실패함을 확인한다.