[논문 리뷰] Nash equilibria of threshold type for two-player nonzero-sum games of stopping

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 선형 정규 확산에서 구동되는 이인비제로합 최적 정지 게임에서 임계값 유형의 내쉬 균형의 존재성 및 유일성을 위한 충분조건을 확립한다. 균형은 각 플레이어가 경계 영역에 대한 첫 번째 도달 시간에 정지를 하는 방식으로 발생하며, 이때 임계값들은 부드러운 피팅 조건과 경계 행동 조건에서 유도된 대수방정식계의 해가 된다. 이는 확률적 제어 이론에서의 자유 경계 문제에 관한 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

This paper analyses two-player nonzero-sum games of optimal stopping on a class of linear regular diffusions with not non-singular boundary behaviour (in the sense of It\\^o and McKean (1974), p.\\ 108). We provide sufficient conditions under which Nash equilibria are realised by each player stopping the diffusion at one of the two boundary points of an interval. The boundaries of this interval solve a system of algebraic equations. We also provide conditions sufficient for the uniqueness of the equilibrium in this class.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 확산 역학 하에서 두 명의 플레이어로 구성된 비제로합 최적 정지 게임에서 내쉬 균형을 분석하기.
• 균형이 임계값 유형일 경우, 즉 특정 경계에 도달하는 순간에 정지를 하는 경우에 대해 충분한 조건을 규명하기.
• 이러한 정지 전략을 특징짓는 균형 임계값을 기술하는 대수방정식계를 유도하기.
• 이러한 정지 전략에 대해 균형의 유일성을 확보하기.
• 일반적인 경계 행동 조건을 고려한 비제로합 설정으로 부드러운 피팅 원리와 자유 경계 기법을 확장하기.

제안 방법

• 지급 함수가 누가 먼저 정지를 하는지에 따라 달라지는 두 명의 플레이어로 구성된 다이킨 게임으로 모델링하며, 할인된 수익과 손실을 고려한다.
• 기저 과정이 연속 계수를 가진 구간 위의 선형 정규 확산이 되도록 가정하며, 비특이 경계 행동을 允허한다.
• 확률적 방법과 척도 함수를 사용하여 부드러운 피팅 원리를 통해 최적 정지 시점을 특징짓는다.
• 각 플레이어의 전략이 상대방의 임계값 전략에 대한 최적 반응이 되도록 하기 위해 균형 임계값을 위한 방정식계를 유도한다.
• 척도 함수와 척도 함수의 비율을 사용하여 경계 행동을 분석하고 최적 정지 영역을 규명한다.
• 지각적 기하학적 조건과 볼록성 조건을 검증하여 존재성과 유일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 과정에서 두 명의 플레이어로 구성된 비제로합 최적 정지 게임에서 임계값 유형의 내쉬 균형이 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 지급 함수와 손실 함수, 척도 함수를 바탕으로 균형 임계값을 대수적으로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 확산의 경계 행동(예: 자연적 경계 또는 입구 경계)은 균형의 구조에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 임계값 유형 전략의 클래스 내에서 균형이 유일한가?
• RQ5 부드러운 피팅 조건과 지급/손실 함수의 볼록성은 이러한 균형의 존재에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 각 플레이어가 경계 영역에 대한 첫 번째 도달 시간에 정지를 하는 경우, 임계값 유형의 내쉬 균형이 존재하며, 이때 임계값들은 부드러운 피팅 조건과 경계 조건에서 유도된 대수방정식계의 해가 된다.
• 균형 임계값은 지급 함수와 손실 함수가 척도 함수의 선형 조합과 교차하는 점에 의해 결정되며, 이는 최적 반응 조건 하에서의 최적성 보장에 기여한다.
• 지급 함수와 손실 함수가 관련 도메인에서 엄격한 볼록성 또는 단조성 조건을 만족할 경우, 임계값 전략의 클래스 내에서 균형의 유일성이 보장된다.
• 하한 경계가 비특이적이지 않은 경우, 최적 정지 전략은 경계에서 즉각 정지를 포함할 수 있으며, 이는 추론 A.4에서 보여진 lin.
• 최적 정지 문제에서의 가치 함수는 지급 함수를 지배하는 가장 작은 초과 함수로 특징지어지며, 척도 함수를 포함하는 명시적 조각별 구성이 가능하다.
• 이 결과들은 자유 경계 문제에 관한 이전 연구를 일반화하며, 비제로합 설정과 비대칭 지급 함수를 고려한 부드러운 피팅 방법의 확장을 제공한다.