[논문 리뷰] Nature and Measure of Entanglement in Quantum Phase Transitions

Rolando D. Somma, Gerardo Ortíz외 3명|CERN Bulletin|2004. 03. 04.

Quantum Information and Cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 상전이(QPTs)에서 일반화된 양자 얽힘을 정량화하기 위해 리 대수 기반의 양자 순수도 측도를 도입한다. 이 방법은 리피킨-메시코프-글릭(Lipkin-Meshkov-Glick, LMG) 모형과 이방성 XY 모형에서 임계점을 효과적으로 식별함을 보여준다. 국소 관측량과 페르미온 변환을 활용함으로써, 기존의 큐비트 기반 양자 얽힘 측도보다 더 정확하게 QPTs를 반영하는 전반적 질서 매개변수를 밝혀낸다.

ABSTRACT

Characterizing and quantifying quantum correlations in states of many-particle systems is at the core of a full understanding of phase transitions in matter. In this work, we continue our investigation of the notion of generalized entanglement [Barnum et al. Phys. Rev. A 68, 032308 (2003)] by focusing on a simple Lie-algebraic measure of purity of a quantum state relative to an observable set. For the algebra of local observables on multi-qubit systems, the resulting local purity measure is equivalent to a recently introduced global entanglement measure [Meyer and Wallach, J. Math. Phys. 43, 4273 (2002)]. In the condensed-matter setting, the notion of Lie-algebraic purity is exploited to identify and characterize the quantum phase transitions present in two exactly solvable models: the Lipkin-Meshkov-Glick model, and the spin-1/2 anisotropic XY model in a transverse magnetic field. For the latter, we argue that a natural fermionic observable-set arising after the Jordan-Wigner transformation, better characterizes the transition than alternative measures based on qubits. This illustrates the usefulness of going beyond the standard subsystem-based framework while providing a global disorder parameter for this model. Our results show how generalized entanglement leads to useful tools for distinguishing between the ordered and disordered phases in the case of broken symmetry quantum phase transitions. Additional implications and possible extensions of concepts to other systems of interest in condensed matter physics are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 서브시스템 기반 프레임워크를 초월하는 리대수 기반 순수도에 기반한 일반화된 양자 얽힘 측도를 개발하는 것.
• 이 새로운 측도를 사용하여 정확히 해를 구할 수 있는 모형에서의 양자 상전이를 특성화하는 것.
• 조르단-바이거 변환 이후의 페르미온 관측량 집합이 큐비트 기반 측도보다 XY 모형에서 임계 행동을 더 잘 반영하는지 보여주는 것.
• 대수적 순수도 측도를 사용하여 XY 모형에 대한 전역 질서 매개변수를 식별하는 것.
• 일반화된 얽힘 측도가 대칭성이 깨진 QPT에서 순서된 상태와 질서 없는 상태를 구분할 수 있는지 확인하는 것.

제안 방법

• 국소 관측량의 리 대수 위에 밀도 행렬을 사영한 후 그 제곱의 트레이스로 정의된 리대수 기반 순수도 측도를 정의한다.
• 다중 큐비트 시스템에 대해 국소 SU(2) 대수에 적용하여, 메이어와 월라치의 전역 얽힘 측도와의 등가성을 보인다.
• 스핀-1/2 시스템을 페르미온 연산자로 매핑하기 위해 조르단-바이거 변환을 사용하여 자연스러운 페르미온 관측량 집합을 가능하게 한다.
• 국소 대수 $ \mathfrak{h}_{\text{loc}} = \bigoplus_{j=1}^N \mathfrak{su}(2)_j $ 에 대한 순수도를 계산하여 전역 얽힘 측도 $ Q(|\psi\rangle) = 1 - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N (\langle\sigma_x^j\rangle^2 + \langle\sigma_y^j\rangle^2 + \langle\sigma_z^j\rangle^2) $ 를 도출한다.
• 열역학적 극한에서 집적형 집단 연산자를 사용하여 LMG 모형의 고전적 근사를 정당화한다.
• LMG 모형과 XY 모형의 임계점에서 순수도 측도의 행동을 비교하여 상전이를 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리대수 기반 순수도 측도는 양자 상전이에 대한 강력한 전역 얽힘 측정 도구로 기능할 수 있는가?
• RQ2 조르단-바이거 변환 이후의 페르미온 관측량 집합은 큐비트 기반 측도에 비해 XY 모형에서 임계성 탐지에 어떻게 향상되는가?
• RQ3 일반화된 얽힘 측도는 대칭성이 깨진 시스템에서 순서된 상태와 질서 없는 상태를 구분할 수 있는가?
• RQ4 LMG 모형과 XY 모형에서 양자 임계점 근처의 얽힘 측도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 LMG 모형의 고전적 극한은 순수도 측도의 관점에서 양자 임계 행동을 일관되게 해석하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 다중 큐비트 시스템에 대해 리대수 기반 순수도 측도 $ P_{\mathfrak{h}}(|\psi\rangle) $ 는 메이어와 월라치의 전역 얽힘 측도와 동치이다.
• 이방성 XY 모형의 경우, 조르단-바이거 변환 이후의 페르미온 관측량 집합은 큐비트 기반 측도보다 양자 상전이를 더 잘 특성화한다.
• 측도 $ Q(|\psi\rangle) = 1 - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N (\langle\sigma_x^j\rangle^2 + \langle\sigma_y^j\rangle^2 + \langle\sigma_z^j\rangle^2) $ 는 XY 모형에 대한 전역 질서 매개변수로 기능한다.
• 열역학적 극한에서 LMG 모형의 기저 상태는 고전적 각운동량처럼 행동하여 집적형 연산자와 반고전적 분석의 사용을 정당화한다.
• 순수도 측도는 LMG 모형과 XY 모형 양쪽에서 $ Q(|\psi\rangle) $ 의 값이 전이에 걸쳐 급격히 변화함을 보여, 양자 임계점을 탐지한다.
• 대수적 순수도를 통한 일반화된 얽힘은 대칭성이 깨진 QPT에서 순서된 상태와 질서 없는 상태를 성공적으로 구분한다.