[논문 리뷰] Near-Optimal Vector Linear Index Codes For Single Unicast Index Coding Problems with Symmetric Neighboring Interference

Mahesh Babu Vaddi, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 28.

Cooperative Communication and Network Coding참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭 이웃 간섭을 가진 단일 유니캐스트 인덱스 코딩 문제(SUICP-SNI)에 대해 이론적 하한에 대해 유한한 간격 내에서 최적에 가까운 벡터 선형 인덱스 코딩 구축을 제안한다. 모든 체에서 구현 가능한 $ D+1 + \frac{a}{b} $ 의 비율을 갖는 2-튜플 (a,b) 의 가족을 도입하며, 하한으로부터의 간격은 $ \frac{K \mod (D+1)}{\lfloor K/(D+1) \rfloor} $ 로 정량화된다. 이는 기존의 정확한 용량 결과를 특수 케이스로 포함한다.

ABSTRACT

A single unicast index coding problem (SUICP) with symmetric neighboring interference (SNI) has equal number of $K$ messages and $K$ receivers, the $k$th receiver $R_{k}$ wanting the $k$th message $x_{k}$ and having the side-information $\mathcal{K}_{k}=(\mathcal{I}_{k} \cup x_{k})^c,$ where ${I}_k= \{x_{k-U},\dots,x_{k-2},x_{k-1}\}\cup\{x_{k+1}, x_{k+2},\dots,x_{k+D}\}$ is the interference with $D$ messages after and $U$ messages before its desired message. Maleki, Cadambe and Jafar obtained the capacity of this single unicast index coding problem with symmetric neighboring interference (SUICP-SNI) with $K$ tending to infinity and Blasiak, Kleinberg and Lubetzky for the special case of $(D=U=1)$ with $K$ being finite. In our previous work, we proved the capacity of SUICP-SNI for arbitrary $K$ and $D$ with $U= ext{gcd}(K,D+1)-1$. This paper deals with near-optimal linear code construction for SUICP-SNI with arbitrary $K,U$ and $D.$ For SUICP-SNI with arbitrary $K,U$ and $D$, we define a set of $2$-tuples such that for every $(a,b)$ in that set the rate $D+1+\frac{a}{b}$ is achieved by using vector linear index codes over every field. We prove that the set $\mathcal{\mathbf{S}}$ consists of $(a,b)$ such that the rate of constructed vector linear index codes are at most $\frac{K~ ext{mod}~(D+1)}{\left \lfloor \frac{K}{D+1} ight floor}$ away from a known lower bound on broadcast rate of SUICP-SNI. The three known results on the exact capacity of the SUICP-SNI are recovered as special cases of our results. Also, we give a low complexity decoding procedure for the proposed vector linear index codes for the SUICP-SNI.

연구 동기 및 목표

• 임의의 K, U, D에 대해 대칭 이웃 간섭을 가진 단일 유니캐스트 인덱스 코딩 문제(SUICP-SNI)에 대해 near-optimal인 벡터 선형 인덱스 코딩을 설계하기.
• SUICP-SNI에 대해 알려진 브로드캐스트 비율 하한에 대해 정량화된 간격 내에서 브로드캐스트 비율을 달성하기.
• 특정 U 값에 대한 이전의 정확한 용량 결과를 일반화하여 더 넓은 매개변수 범위로 확장하기.
• 제안된 벡터 선형 인덱스 코딩에 대해 저복잡도 복호화 절차를 제공하기.

제안 방법

• 모든 체에서 $ D+1 + \frac{a}{b} $ 의 비율이 실현 가능한 2-튜플 (a,b) 의 집합 $ \mathcal{S} $ 을 정의하기.
• 임의의 체에서 인접한 행들이 선형 독립이 되도록 보장하기 위해 AIR(인접 독립 행) 행렬을 사용하여 인덱스 코딩을 구축하기.
• 확장된 유클리드 알고리즘을 기반으로 한 재귀적 구조를 사용하여 행의 의존성과 간섭 패턴을 제어하는 코드 행렬 생성하기.
• 측정 정보와 코딩된 기호 조합을 활용하여 간섭 메시지를 제거하고 원하는 기호를 정확히 복호화할 수 있도록 복호화 절차 설계하기.
• 구축된 코딩이 알려진 브로드캐스트 비율 하한에 대해 $ \frac{K \mod (D+1)}{\lfloor K/(D+1) \rfloor} $ 의 간격 내에서 비율을 달성함을 증명하기.
• 구성된 구조가 세 가지 기존의 정확한 용량 결과를 특수 케이스로 포함함을 검증하기. 이는 Maleki 등이 제시한 점점 커지는 용량과 Blasiak 등이 제시한 $ D=U=1 $ 의 결과를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 K, U, D에 대해 SUICP-SNI에 대해 이론적 하한에 가까운 비율을 달성하는 near-optimal인 벡터 선형 인덱스 코딩을 구성할 수 있는가?
• RQ2 구성된 코딩 비율과 SUICP-SNI에 대한 알려진 브로드캐스트 비율 하한 사이의 최대 간격은 얼마인가?
• RQ3 이 구조는 어떻게 일반화되어 기존의 정확한 용량 결과를 특수 케이스로 포함할 수 있는가?
• RQ4 임의의 체에서 인접한 행들이 선형 독립이 되도록 보장하는 코드 행렬의 구조는 무엇인가?
• RQ5 측정 정보와 코딩된 기호만을 사용하여 효율적인 복호화를 가능하게 하는 저복잡도 복호화 절차를 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 벡터 선형 인덱스 코딩은 2-튜플 (a,b) 의 집합에 대해 $ D+1 + \frac{a}{b} $ 의 비율을 달성하며, 이는 모든 유한 체에서 유효하다.
• 구성된 코딩의 비율은 SUICP-SNI에 대한 알려진 브로드캐스트 비율 하한에 대해 $ \frac{K \mod (D+1)}{\lfloor K/(D+1) \rfloor} $ 의 간격 내에 있다.
• 이 구조는 Maleki 등이 제시한 점점 커지는 용량(비한계적)과 Blasiak 등이 제시한 $ D=U=1 $ (유한 K) 의 정확한 용량 결과를 특수 케이스로 포함한다.
• AIR 행렬 구조는 어떤 $ n $ 개의 인접한 행도 임의의 체에서 선형 독립이 되도록 보장하여 강력한 코딩 설계를 가능하게 한다.
• 저복잡도 복호화 절차가 제공되며, 각 수신자는 측정 정보를 기반으로 특정 코딩된 기호를 더하여 간섭 기호를 제거한다.
• 코딩의 구조와 측정 정보를 활용함으로써, 복호화 과정이 대칭 이웃 간섭 조건 하에서도 정확히 원하는 메시지 기호를 복원함을 증명하였다.