[논문 리뷰] Neutrality and Many-Valued Logics

Andrew Schumann, Florentín Smarandache|ArXiv.org|2007. 07. 21.

advanced mathematical theories참고 문헌 123인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 초실수와 p진 정수를 기반으로 한 비아르키메데스적 및 p진 값의 다가역 논리 체계를 제안하여 논리적 중립성을 모델링하고, 초실수와 p진 정수를 통해 퍼지 논리를 확장한다. t-norm와 초순서를 사용하여 무한 다가역 체계를 위한 해석적 계산 체계를 구축하며, 비아르키메데스적 및 p진 구조 위에서 진리도, 불확실도, 거짓도를 갖는 중립적 논리 체계를 제안한다. 이는 표준 퍼지 논리와 다가역 논리를 일반화한다.

ABSTRACT

In this book, we consider various many-valued logics: standard, linear, hyperbolic, parabolic, non-Archimedean, p-adic, interval, neutrosophic, etc. We survey also results which show the tree different proof-theoretic frameworks for many-valued logics, e.g. frameworks of the following deductive calculi: Hilbert's style, sequent, and hypersequent. We present a general way that allows to construct systematically analytic calculi for a large family of non-Archimedean many-valued logics: hyperrational-valued, hyperreal-valued, and p-adic valued logics characterized by a special format of semantics with an appropriate rejection of Archimedes' axiom. These logics are built as different extensions of standard many-valued logics (namely, Lukasiewicz's, Goedel's, Product, and Post's logics). The informal sense of Archimedes' axiom is that anything can be measured by a ruler. Also logical multiple-validity without Archimedes' axiom consists in that the set of truth values is infinite and it is not well-founded and well-ordered. On the base of non-Archimedean valued logics, we construct non-Archimedean valued interval neutrosophic logic INL by which we can describe neutrality phenomena.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스적 및 p진 값의 논리 체계를 통해 전통적인 다가역 논리를 확장하여 논리적 중립성을 형식화한다.
• Łู카시에비츠, 고델, 곱셈 t-norm 기반의 무한 다가역 논리 체계를 위한 해석적 증명 체계—힐베르트 스타일, 순서 및 초순서 계산 체계—를 개발한다.
• 기본 퍼지 논리 BL을 비아르키메데스적 및 p진 값의 확장으로 체계적으로 일반화하여 새로운 형태의 진리 기반 추론을 가능하게 한다.
• 초실수와 p진 정수 위에서 진리도, 불확실도, 거짓도를 갖는 간격 중립 논리 체계를 제안하여 중립 현상을 포괄한다.
• 비아르키메데스적 구조, p진 해석학, 중립 논리 간의 공식적 연결을 확립하여 추론에서의 중립성에 대한 통합적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 초실수와 초정수를 사용하여 비아르키메데스적 값의 논리를 구축하고, 아르키메데스의 공리를 기각함으로써 무한소와 무한히 큰 수를 포함하는 진리값을 허용한다.
• t-norm 기반 의미론을 적용하여 단위 구간 [0,1] 에 초수를 추가한 영역 위에서 무한 다가역 Łukasiewicz, 고델, 곱셈 논리를 정의한다.
• p진 노름 |·|_p 를 ℚ_p 에 적용하여 p진 정수의 링 ℤ_p 에서 진리값을 갖는 p진 값의 논리를 정의함으로써 이산적 무한 다가역 체계를 도출한다.
• 무한 다가역 논리 체계를 위한 초순서 계산 체계를 개발하여 게냐멘 스타일 순서를 일반화하여 해석적 증명 체계를 지원한다.
• 비아르키메데스적 및 p진 값의 기본 퍼지 논리 BL 을 잔여 레디컬 라티스와 비아르키메데스적 구조를 사용하여 확장한다.
• 진리도(t), 불확실도(i), 거짓도(f)로 구성된 삼중도를 갖는 비아르키메데스적 및 p진 값의 중립 논리 체계를 제안하며, 각 성분이 초실수 또는 ℤ_p 에서 범위를 가지도록 하여 중립성 모델링을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아르키메데스적 및 p진 값의 진리 구조를 사용하여 논리적 중립성을 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 Łukasiewicz, 고델, 곱셈 t-norm 기반의 무한 다가역 논리 체계가 비아르키메데스적 및 p진 영역으로 확장되었을 때, 그 증명 이론적 성질은 어떠한가?
• RQ3 기본 퍼지 논리 BL 을 비아르키메데스적 및 p진 값의 체계로 체계적으로 확장할 수 있는가? 이때 타당성과 완전성은 유지되는가?
• RQ4 p진 값의 논리는 표준 퍼지 논리와 비교해 어떤 의미론적 및 증명 이론적 차이를 갖는가?
• RQ5 초실수와 p진 정수 위에서 정의된 간격 중립 논리 체계는 어떻게 표준 퍼지 논리 및 중립 논리 체계를 일반화하여 불확실성과 중립성을 모델링하는가?

주요 결과

• 초실수와 초정수를 사용하여 비아르키메데스적 값의 논리를 구축함으로써, 진리값이 무한소와 무한히 큰 수를 포함하도록 하며 아르키메데스의 공리를 기각한다.
• p진 값의 논리는 p진 정수의 링 ℤ_p 에서 정의되며, 비아르키메데스적 삼각 부등식을 갖는 이산적 무한 다가역 체계를 제공한다.
• 무한 다가역 Łukasiewicz, 고델, 곱셈 논리 체계를 위한 초순서 계산 체계를 개발하여 컷 제거와 완전성을 갖는 해석적 증명 체계를 제공한다.
• 기본 퍼지 논리 BL 의 비아르키메데스적 및 p진 값의 확장 체계를 도입하였으며, 이에 해당하는 행렬 논리 및 BL-대체 구조와 같은 대수적 구조를 비아르키메데스적 영역에서 정의한다.
• 초실수 또는 ℤ_p 에서 범위를 갖는 비아르키메데스적 값의 간격 중립 논리 체계(INL)를 구축하였으며, 이는 중립성 모델링을 가능하게 한다.
• 논문은 중립 논리가 비아르키메데스적 및 p진 값의 논리를 일반화하며, 중립성과 불확실성을 다루는 통합적 프레임워크로 이들을 통합함을 증명한다.